En matemáticas, a multiplicidade dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.
A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, raíces duplas contadas dúas veces). De aí a expresión, "contado con multiplicidade".
Multiplicidade dun factor primo Na factorización prima, a multiplicidade dun factor primo é a súa valoracíon -ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro é
a multiplicidade do factor primo é , mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos e é . Así, ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos.
Multiplicidade dunha raíz dun polinomio Sexa ser un corpo e un polinomio nunha variábel con coeficientes en . Un elemento é unha raíz de multiplicidade de se hai un polinomio tal que e . Se , entón a chámase raíz simple. Se , entón chámase raíz múltiple .
Por exemplo, o polinomio ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como . Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade 2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade 1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.
O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple.
Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear Para unha ecuación cunha única solución variábel , a multiplicidade é se
e
Noutras palabras, o funcional diferencial , definido como a derivada dunha función en , desaparece en para ata . Eses funcionais diferenciais abranguen un espazo vectorial, chamado espazo dual de Macaulay en , e a súa dimensión é a multiplicidade de como un cero de .
Sexa un sistema de ecuacións de variábeis con solución onde é un mapeo de a ou dende a . Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en no que cada funcional desaparece en . A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución á ecuación . O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.
Por exemplo, a solución do sistema de ecuacións en forma de con
é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay
é de dimensión 3, onde denota o funcional diferencial aplicado nunha función no punto .
Multiplicidade de intersección En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha multiplicidade de intersección. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín).
Na análise complexa Sexa z 0 a raíz dunha función holomorfa f e sexa n o menor número enteiro positivo tal que a derivada n-ésima de f avaliada en z0 difire de cero. Entón a serie de potencias de f sobre z 0 comeza co n-ésimo termo, e dise que f ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde") n. Se n = 1, a raíz chámase raíz simple.
Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa tomamos as expansións de Taylor de g e h sobre un punto z0, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como m e n respectivamente) entón se m = n, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se entón o punto é un cero de multiplicidade Se , entón o punto ten un polo de multiplicidade
Notas
Bibliografía Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. .
Outros artigos Descomposición en factores primos Ecuación de segundo grao Polinomio
Categoría:Análise matemática Categoría:Teoría de conxuntos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas