En matemáticas, o test M de Weierstrass é un test para determinar se unha serie infinita de funcións converxen de forma uniforme e absoluta. Aplícase a series cuxos termos son funcións limitadas con valores reais ou complexos, e é análogo ao test de comparación para determinar a converxencia de series de números reais ou complexos. Leva o nome do matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897).
Enunciado Test M de Weierstrass. Supoña que (fn) é unha sucesión de funcións de valores reais ou complexos definidas nun conxunto A, e que hai unha sucesión de números non negativos (Mn) que satisfai as condicións
para todos os e todo . converxe.
Daquela a serie
converxe absoluta e uniformemente en A.
Unha serie que satisfai a hipótese chámase normalmente converxente. O resultado úsase a miúdo en combinación co teorema do límite uniforme. Xuntos din que se, a maiores das condicións anteriores, o conxunto A é un espazo topolóxico e as funcións fn son continuas en A, entón a serie converxe a unha función continua.
Proba Considere a sucesión de sumas parciais de funcións
Posto que a serie converxe e para todo , entón polo criterio de Cauchy,
Para o escollido,
(A desigualdade (1) dedúcese da desigualdade do triángulo).
A sucesión é así unha secuencia de Cauchy en R ou C, e por completude converxe a algún número que depende de x. Para n > N podemos escribir
Dado que N non depende de x, isto significa que a secuencia de sumas parciais converxe uniformemente á función S. De aí, por definición, a serie converxe uniformemente.
De xeito análogo, pódese probar que converxe uniformemente.
Exemplo Sexa un número real, entón a función de Weierstrass: , continua en todas as partes, mais non é diferenciábel en lugar ningún.E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.
A continuidade desta función pódese probar co test M de Weierstrass. É certo que : así como:
converxe uniformemente segundo o test M de Weierstrass.
As sumas parciais individuais forman agora unha secuencia de funcións continuas que converxen uniformemente a . Así, é continua como tal límite.
Xeneralización Unha versión máis xeral do test M de Weierstrass cúmprese se o codominio común das funcións (fn) é un espazo de Banach, nese caso a premisa
debe ser substituído por
,
onde é a norma no espazo de Banach. Para un exemplo do uso desta proba nun espazo de Banach, consulte o artigo Derivada de Fréchet. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Serie converxente Test de condensación de Cauchy
Categoría:Análise complexa