Na teoría de números elemental, o lema de levantamento do expoñente (lema LTE nas siglas en inglés) proporciona varias fórmulas para calcular a valoración p-ádica de certas expresións de números enteiros. O lema chámase así porque describe os pasos necesarios para "levantar" o expoñente de nesas expresións. Está relacionado co lema de Hensel.

Enunciado (Notación: lese divide a , e coa barra riscada lese non divide a ).

Para calquera números enteiros e , un número enteiro positivo , e un número primo tal que e , cúmprense as seguintes afirmacións:

Cando é impar: Se , entón . Se e é impar, entón . Se e é par, entón . Cando : Se e é par, entón Se e é impar, daquela (dedúcese do caso xeral embaixo), Corolarios: Se , entón e daquela . Se e é par, daquela . Se e é impar, daquela . Para todo : Se e , daquela . Se , e é impar, daquela .

Xeneralizacións O lema LTE xeneralizouse a valores complexos de sempre que o valor de sexa enteiro.S. Riasat, Generalising `LTE' and application to Fibonacci-type sequences.

Esquema de proba

Caso base O caso base cando compróbase primeiro. Pola mor de , por tanto non ten potencias de e non aporta nada na valoración.

O feito de que a fórmula de Bernoulli completa a proba, pois dese produto só aporta na valoración o factor .

A condición por impar é semellante.

Caso xeral (p impar) Se facemos en (), muda unha condición, pois agora e por tanto

Coa mesma condición e a substitución , vía a expansión binomial, pódese mostrar que porque () é múltiplo de mais non de Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE). https://pregatirematematicaolimpiadejuniori.wordpress.com/wp-content/uploads/2016/07/lte.pdf). Así mesmo, .

Entón, se se escribe como onde , o caso base dá . Por indución en ,

O enunciado cando demóstrase de xeito análogo.

Caso xeral (p = 2) A proba para o caso con impar non se pode aplicar directamente cando porque o coeficiente binomial é só un múltiplo enteiro de cando é impar.

No entanto, pódese demostrar que cando escribindo onde e son enteiros con impar e decatándose de que

posto que , cada factor na diferenza de cadrados salta á forma que é congruente con 2 módulo 4.

A afirmación cando próbase de xeito análogo.

En competicións

Problema de exemplo O lema LTE pódese usar para resolver o problema 2020 AIME I #12:Sexa o número enteiro menor positivo para o cal é divisíbel por Atopar o número de divisores enteiros positivos de .Solución. Temos en conta que . Usando o lema LTE, posto que nin , pero , temos . Así, .

Do mesmo xeito, , pero , así que e .

Posto que , os factores de 5 abórdanse observando que os residuos de módulo 5 seguen o ciclo e os de seguen o ciclo , os residuos de módulo 5 seguen un ciclo a través da secuencia . Así, se e só se para algún número enteiro positivo .

Agora pódese aplicar de novo o lema LTE: . Posto que , e . De aí .

Combinando estes tres resultados, compróbase que , que ten divisores positivos.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía Outros artigos Lema de Hensel. Último teorema de Fermat. Aritmética modular Ligazóns externas Art of problem solving.

Categoría:Teoría de números Categoría:Teoremas Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas