En matemáticas, a norma dun corpo é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.
Definición formal Sexa K un corpo e L unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de K.
O corpo L é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre K .
A multiplicación por α dun elemento de L,
,
é unha transformación K-linear deste espazo vectorial en si mesmo.
A norma, N L/K (α), defínese como o determinante desta transformación linear.
Se L/K é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de α ∈ L como o produto de todos os conxugados de Galois de α:
onde Gal(L/K) denota o grupo de Galois de L/K. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).
Para unha extensión xeral do corpo L/K, e α distinto de cero en L, sexan σ(α), ... , σ (α) as raíces do polinomio mínimo de α sobre K (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de L); entón
.
Se L/K é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [L:K(α)], aínda pode ser maior que 1).
Exemplos
Extensións de corpo cadrático Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos onde é un enteiro libre de cadrados.
Despois, o mapa de multiplicación por sobre un elemento é
O elemento pode ser representado polo vector
xa que hai unha descomposición de suma directa como a -espazo vectorial.
A matriz de é daquela
e a norma é , xa que é o determinante desta matriz.
Norma de Q(√2) Considere o corpo de números alxébricos .
O grupo de Galois de sobre ten orde e é xerado polo elemento que envía a . Logo, a norma de é:
A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .
Fixemos unha -base de , digamos:
.
Daquela a multiplicación polo número envía
1 a e a .
Daquela, o determinante de "multiplicar por " é o determinante da matriz que envía o vector
(correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a , (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, ) a ,
a saber:
O determinante desta matriz é −1.
extensións do corpo raíz p-ésima Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma onde a factorización prima de non contén potencias -ésimas, para un primo impar fixo.
O mapa de multiplicación por dun elemento édando a matrizO determinante dá a norma
Números complexos sobre os reais A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía
a
,
porque o grupo de Galois de sobre ten dous elementos,
o elemento identidade e a conxugación complexa,
e tomando o produto obtense .
Corpos finitos Sexa L = GF(qn) unha extensión finita dun corpo finito K = GF( q).
Dado que L/K é unha extensión de Galois, se α está en L, entón a norma de α é o produto de todos os conxugados de Galois de α, é dicir
Nesta configuración temos as propiedades adicionais,
Propiedades da norma Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita.
Homomorfismo de grupos A norma N : L* → K* é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de L no grupo multiplicativo de K, é dicir
A maiores, se a en K :
Se a ∈ K entón
Composición con extensións de corpo A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos :
se M é unha extensión finita de L, entón a norma de M en K é só a composición da norma de M en L coa norma de L en K, é dicir.
Redución da norma A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é Oggier. (PDF). p. 15. Archived from the original (PDF) on 2014-10-23. Retrieved 2020-03-28.Por exemplo, para na extensión de corpo , a norma de éxa que o grao de extensión do corpo é .
Detección de unidades Para o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico , un elemento é unha unidade se e só se .
Por exemplo
onde
.
Así, calquera corpo numérico cuxo anel de enteiros contén teno como unidade. Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Traza dun corpo. Norma dun ideal.
Categoría:Teoría de números alxébricos
Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas