As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein, son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.
Series de Eisenstein para o grupo modular miniatura| A parte real de en función de no disco unitario. Os números negativos están en negro. dereita|miniatura| Sexa un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein de peso , onde é un número enteiro, pola seguinte serie:
Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en . É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza . Explicitamente se e entón
Nótese que é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos e anúlanse. Para a serie converxe mais non é unha forma modular.
Relación con invariantes modulares As invariantes modulares e dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein:
Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.
Relación de recorrencia Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular pódese escribir como un polinomio en e . En concreto, a orde superior pódese escribir en termos de e mediante unha relación de recorrencia. Sexa , polo que, por exemplo, e . Daquela o satisfai a relación
para todo . Onde é o coeficiente binomial.
Os tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:
Series de Fourier Definimos , (algúns libros máis antigos definen que como o nome , mais agora é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein é
onde os coeficientes están dados por
Onde son os números de Bernoulli, é a función zeta de Riemann e é a función suma dos divisores. En particular temos
A suma sobre pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos
para complexos arbitrarios e . Cando se traballa coa -expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:
Identidades coa serie de Eisenstein
Como funcións theta Fonte:
Dado , temos
e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome ,
onde e representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,
Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente
unha expresión relacionada co discriminante modular,
Produtos das series de Eisenstein As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo . Dado que o espazo das formas modulares de peso ten dimensión 1 para , os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades:
Usando as -expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:
polo tanto
e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:
para o número de vectores de lonxitude cadrada na retícula raíz do tipo .
Usando a relación de recorrencia anterior, todos os superiores poden expresarse como polinomios en e . Por exemplo:
Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan
onde
é o discriminante modular.
Identidades de Ramanujan Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación. Sexan
daquela
Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de para incluír o cero, configurando
Logo, por exemplo
Xeneralizacións As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.
Definindo como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real , defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como . Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.
Notas
Véxase tamén Bibliografía Translated into English as
Categoría:Fractais Categoría:Análise matemática Categoría:Teoría de números Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Serie matemática