miniatura|Aquest gràfic mostra un coeficient de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional. En matemàtiques, i especialment en geometria diferencial i física matemàtica, la teoria de gauge és l'estudi general de les connexions en fibrats vectorials, fibrats principals i fibrats de fibres. La teoria de gauge en matemàtiques no s'ha de confondre amb el concepte estretament relacionat de teoria de gauge en física, que és una teoria de camps que admet simetria de gauge. En matemàtiques, teoria significa una teoria matemàtica, que encapsula l'estudi general d'un conjunt de conceptes o fenòmens, mentre que en el sentit físic, una teoria de gauge és un model matemàtic d'algun fenomen natural. miniatura|Aquest gràfic mostra un coeficient de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional. La teoria de gauge en matemàtiques s'ocupa típicament de l'estudi de les equacions de la teoria de gauge. Aquestes són equacions diferencials que impliquen connexions en fibrats vectorials o fibrats principals, o que impliquen seccions de fibrats vectorials, i per tant hi ha forts vincles entre la teoria de gauge i l'anàlisi geomètrica. Aquestes equacions sovint tenen un significat físic, corresponent a conceptes importants en la teoria quàntica de camps o la teoria de cordes, però també tenen una importància matemàtica important. Per exemple, les equacions de Yang-Mills són un sistema d'equacions diferencials parcials per a una connexió en un fibrat principal, i en física les solucions d'aquestes equacions corresponen a solucions de buit a les equacions de moviment per a una teoria de camps clàssica, partícules conegudes com a instantons.
La teoria de gauge ha trobat usos en la construcció de nous invariants de varietats llises, la construcció d'estructures geomètriques exòtiques com ara les varietats hiperkähler, així com en donar descripcions alternatives d'estructures importants en geometria algebraica com ara espais de mòduls de fibrats vectorials i feixos coherents. miniatura|Aquest gràfic proporciona un coeficient de la curvatura de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional.
Història La teoria de gauge té els seus orígens en la formulació de les equacions de Maxwell que descriuen l'electromagnetisme clàssic, que es pot formular com una teoria de gauge amb el grup estructural del grup del cercle. El treball de Paul Dirac sobre monopols magnètics i mecànica quàntica relativista va fomentar la idea que els fibrats i les connexions eren la manera correcta de formular molts problemes en mecànica quàntica. La teoria de gauge en física matemàtica va sorgir com un camp d'estudi significatiu amb el treball seminal de Robert Mills i Chen-Ning Yang sobre l'anomenada teoria de gauge de Yang-Mills, que ara és el model fonamental que sustenta el Model Estàndard de la física de partícules. miniatura|Representació visual de la intensitat del camp instantó BPST sobre una 4-esfera. La investigació matemàtica de la teoria de gauge té els seus orígens en el treball de Michael Atiyah, Isadore Singer i Nigel Hitchin sobre les equacions d'autodualitat en una varietat riemanniana en quatre dimensions.Atiyah, M.F., Hitchin, N.J. and Singer, I.M., 1977. Deformations of instantons. Proceedings of the National Academy of Sciences, 74(7), pp. 2662–2663.Atiyah, M.F., Hitchin, N.J. and Singer, I.M., 1978. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 362(1711), pp. 425–461. En aquest treball s'ha estudiat l'espai de mòduls de connexions autoduals (instantons) en l'espai euclidià, i s'ha demostrat que té dimensió on és un paràmetre enter positiu. Això va estar vinculat amb el descobriment per part dels físics dels instantons BPST, solucions al buit de les equacions de Yang-Mills en quatre dimensions amb . Aquests instantons es defineixen mitjançant una selecció de 5 paràmetres, el centre i escala , corresponent a la espai de mòduls de dimensió 2. A la dreta es representa un instantó BPST.
Més o menys al mateix temps, Atiyah i Richard Ward van descobrir vincles entre les solucions de les equacions d'autodualitat i els fibrats algebraics sobre l'espai projectiu complex. Atiyah, M.F. and Ward, R.S., 1977. Instantons and algebraic geometry. Communications in Mathematical Physics, 55(2), pp. 117–124. Un altre descobriment important va ser el desenvolupament de la construcció ADHM per Atiyah, Vladimir Drinfeld, Hitchin i Yuri Manin.Atiyah, M.F., Hitchin, N.J., Drinfeld, V.G. and Manin, Y.I., 1978. Construction of instantons. Physics Letters A, 65(3), pp. 185–187. Aquesta construcció va permetre la solució de les equacions d'anti-autodualitat a l'espai euclidià a partir de dades algebraiques purament lineals.
A principis dels anys vuitanta es van produir avenços significatius que van fomentar el desenvolupament de la teoria matemàtica de gauge. En aquest moment, l'important treball d'Atiyah i Raoul Bott sobre les equacions de Yang-Mills sobre superfícies de Riemann va mostrar que els problemes de la teoria de gauge podien donar lloc a estructures geomètriques interessants, impulsant el desenvolupament de mapes de moments de dimensió infinita, la teoria de Morse equivariant i les relacions entre la teoria de gauge i la geometria algebraica.Atiyah, M.F. and Bott, R., 1983. The yang-mills equations over riemann surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 308(1505), pp. 523–615. En aquest moment, Karen Uhlenbeck va desenvolupar importants eines analítiques en l'anàlisi geomètrica, que va estudiar les propietats analítiques de les connexions i la curvatura demostrant importants resultats de compacitat.Uhlenbeck, K.K., 1982. Connections with Lp bounds on curvature. Communications in Mathematical Physics, 83(1), pp. 31–42. Els avenços més significatius en aquest camp es van produir gràcies al treball de Simon Donaldson i Edward Witten.
Donaldson va utilitzar una combinació de geometria algebraica i tècniques d'anàlisi geomètrica per construir nous invariants de quatre varietats, ara conegudes com a invariants de Donaldson.Donaldson, S.K., 1983. An application of gauge theory to four-dimensional topology. Journal of Differential Geometry, 18(2), pp. 279–315.Donaldson, S.K., 1990. Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology, 29(3), pp. 257–315. Amb aquests invariants, resultats nous com ara l'existència de varietats topològiques que no admeten estructures llises, o l'existència de moltes estructures llises diferents a l'espai euclidià. es podria demostrar. Per aquest treball, Donaldson va ser guardonat amb la Medalla Fields el 1986.
Witten va observar de manera similar el poder de la teoria de gauge per descriure invariants topològics, relacionant quantitats derivades de la teoria de Chern-Simons en tres dimensions amb el polinomi de Jones, un invariant dels nusos.Witten, E., 1989. Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics, 121(3), pp. 351–399. Aquest treball i el descobriment dels invariants de Donaldson, així com el nou treball d'Andreas Floer sobre l'homologia de Floer, van inspirar l'estudi de la teoria quàntica de camps topològica.
Després del descobriment del poder de la teoria de gauge per definir invariants de varietats, el camp de la teoria de gauge matemàtica va créixer en popularitat. Es van descobrir més invariants, com ara els invariants de Seiberg-Witten i els invariants de Vafa-Witten.Witten, Edward (1994), "Monopoles and four-manifolds.", Mathematical Research Letters, 1 (6): 769–796, arXiv:hep-th/9411102, Bibcode:1994MRLet...1..769W, doi:10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13, MR 1306021, archived from the original on 2013-06-29Vafa, C. and Witten, E., 1994. A strong coupling test of S-duality. arXiv preprint hep-th/9408074. Donaldson, Uhlenbeck i Shing-Tung Yau van establir forts vincles amb la geometria algebraica gràcies al treball de la correspondència Kobayashi-Hitchin que relaciona les connexions Yang-Mills amb els fibrats vectorials estables.Simon K. Donaldson, Anti self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 50 (1985), 1-26.Karen Uhlenbeck and Shing-Tung Yau, On the existence of Hermitian–Yang-Mills connections in stable vector bundles.Frontiers of the mathematical sciences: 1985 (New York, 1985). Communications on Pure and Applied El treball de Nigel Hitchin i Carlos Simpson sobre els fibrats de Higgs va demostrar que els espais de mòduls derivats de la teoria de gauge podrien tenir estructures geomètriques exòtiques com la de les varietats hiperkähler, així com enllaços amb sistemes integrables a través del sistema de Hitchin.Hitchin, N.J., 1987. The self-duality equations on a Riemann surface. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1), pp. 59–126.Simpson, Carlos T. Higgs bundles and local systems. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 75 (1992), pp. 5–95. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0/ Es van realitzar enllaços amb la teoria de cordes i la simetria de mirall, on la teoria de gauge és essencial per formular la conjectura de la simetria de mirall homològica i la correspondència AdS/CFT.
Objectes d'interès fonamentals Els objectes fonamentals d'interès en la teoria de gauge són les connexions en els fibrats vectorials i els fibrats principals. En aquesta secció recordem breument aquestes construccions i ens remetem als principals articles per obtenir-ne més detalls. Les estructures descrites aquí són estàndard dins de la literatura de geometria diferencial, i es pot trobar una introducció al tema des d'una perspectiva de la teoria de gauge al llibre de Donaldson i Peter Kronheimer. miniatura|300x300px|Fibrat principal no trivial Z /2 Z sobre el cercle. No hi ha cap manera òbvia d'identificar quin punt correspon a +1 o -1 a cada fibra. Aquest fibrat no és trivial, ja que no hi ha cap secció globalment definida de la projecció π.
Paquets principals Els objectes centrals d'estudi en la teoria de gauge són els fibrats principals i els fibrats vectorials. L'elecció de quin estudiar és essencialment arbitrària, ja que es pot passar entre ells, però els fibrats principals són els objectes naturals des de la perspectiva física per descriure camps de gauge, i matemàticament codifiquen de manera més elegant la teoria corresponent de connexions i curvatura per als fibrats vectorials que hi estan associats.
Un fibrat principal amb grup d'estructura , or a principal -bundle, o fibrat principal on és un fibrat de fibres diferenciable amb espai de fibra isomorf a un grup de Lie , i representa una acció per la dreta, lliure i transitiva, del grup on que preserva les fibres, en el sentit que per a tot , per tot . miniatura|El feix de marcs ortonormals de la cinta de Möbius és un principi no trivial -enrotllar sobre el cercle. Els exemples més simples de fibrats principals es donen quan és el grup del cercle. En aquest cas, el fibrat principal té dimensió on . Un altre exemple natural es produeix quan és el fibrat de referència del fibrat tangent de la varietat , o més generalment el fibrat de referència d'un fibrat vectorial sobre . En aquest cas, la fibra de ve donat pel grup lineal general .
Com que un fibrat principal és un fibrat de fibres, localment té l'estructura d'un producte. És a dir, hi ha una cobertura oberta de i difeomorfismes desplaçant-se amb les projeccions i , de manera que les funcions de transició definit per satisfer la condició de cocicle