miniatura|250x250px|La fibració de Hopf es pot visualitzar mitjançant una projecció estereogràfica i després a una bola. Aquesta imatge mostra punts i les seves fibres corresponents amb el mateix color. En topologia diferencial, la fibració de Hopf (també coneguda com a feix de Hopf o mapa de Hopf) descriu una 3-esfera (una hiperesfera en un espai de quatre dimensions) en termes de cercles i una esfera ordinària. Descoberta per Heinz Hopf el 1931, és un exemple primerenc influent d'un feix de fibres. Tècnicament, Hopf va trobar una funció contínua de molts a un (o "mapa") des de la -esfera fins a la esfera de manera que cada punt diferent de la esfera es mapeja des d'un cercle màxim diferent de la esfera . Així, la esfera està composta de fibres, on cada fibra és un cercle, un per a cada punt de la -esfera.
Aquesta estructura de feix de fibres es denota miniatura|250x250px|Els clauers enllaçats per parells imiten part de la fibració de Hopf.
és a dir, que l'espai de fibra (un cercle) està inclòs en l'espai total (l'esfera ), i aplicació de Hopf) sobre l'espai base l'esfera ordinària ). La fibració de Hopf, com qualsevol fibrat de fibres, té la propietat important que és localment un espai de producte. Tanmateix, no és un fibrat de fibres trivial, és a dir no és globalment un producte de tot i que localment no se'n pot distingir.
Això té moltes implicacions: per exemple, l'existència d'aquest fibrat demostra que els grups d'homotopia superior d'esferes no són trivials en general. També proporciona un exemple bàsic d'un fibrat principal, identificant la fibra amb el grup del cercle.
La projecció estereogràfica de la fibració de Hopf indueix una estructura remarcable , en què tot l'espai tridimensional, excepte l'eix z, està ple de tors imbricats fets de cercles de Villarceau que s'uneixen. Aquí cada fibra es projecta a un cercle a l'espai (un dels quals és una línia, considerada com un "cercle que passa per l'infinit"). Cada tor és la projecció estereogràfica de la imatge inversa d'un cercle de latitud de l'esfera (Topològicament, un tor és el producte de dos cercles.) Aquests tors s'il·lustren a les imatges de la dreta. Quan comprimeix fins al límit d'una bola, es perd alguna estructura geomètrica, tot i que es conserva l'estructura topològica (vegeu Topologia i geometria). Els bucles són homeomorfs als cercles, tot i que no són cercles geomètrics.
Hi ha nombroses generalitzacions de la fibració de Hopf. L'esfera unitària en un espai de coordenades complex fibres naturalment sobre l'espai projectiu complex amb cercles com a fibres, i també hi ha versions reals, quaterniòniquesquaternionic Hopf Fibration, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration i octoniòniques d'aquestes fibracions. En particular, la fibració de Hopf pertany a una família de quatre fibrats en què l'espai total, l'espai base i l'espai de fibra són tots esferes:
Pel teorema d'Adams, aquestes fibracions només poden ocórrer en aquestes dimensions.
Definició i construcció Per a qualsevol nombre natural n, una esfera n -dimensional, o n-esfera, es pot definir com el conjunt de punts d'una espai n-dimensional que es troba a una distància fixa d'un punt central. Per a la concreció, el punt central es pot prendre com l'origen, i la distància dels punts de l'esfera des d'aquest origen es pot assumir com una unitat de longitud. Amb aquesta convenció, l' n -esfera, , consta dels punts en amb x 1 2 + x22 + ⋯+ x n + 1 2 = 1. Per exemple, l'esfera consisteix en els punts ( x 1 , x2 , x3 , x 4 ) a R 4 amb x 1 2 + x22 + x 3 2 + x 4 2 = 1.
La fibració de Hopf de l'esfera sobre l'esfera es pot definir de diverses maneres.
Construcció directa (on denota els nombres complexos) escrivint:
i identifiqueu amb escrivint
.
Així s'identifica amb el subconjunt de tots els tals que , s'identifica amb el subconjunt de tots els de tals que (Aquí, per a un nombre complex , el seu valor absolut al quadrat és | z | 2 = z z ∗ = x² + y 2, on l'estrella denota el conjugat complex .) Aleshores, la fibració de Hopf es defineix per
El primer component és un nombre complex, mentre que el segon component és real. Qualsevol punt de l'esfera ha de tenir la propietat que Si això és així, aleshores es troba a la unitat -esfera de , com es pot demostrar sumant els quadrats dels valors absoluts dels components complex i real de
A més, si dos punts de la 3-esfera corresponen al mateix punt de la 2-esfera, és a dir, si , aleshores ha de ser igual a per a algun nombre complex amb El contrari també és cert; dos punts qualssevol de l'esfera que difereixen en un factor complex comú es corresponen amb el mateix punt de l'esfera Aquestes conclusions es deriven perquè el factor complex es cancel·la amb el seu conjugat complex en ambdues parts de : en el component complex i en el component real .
Com que el conjunt de nombres complexos amb formen el cercle unitari en el pla complex, es dedueix que per a cada punt , la imatge inversa és un cercle, és a dir, Així, l'esfera es realitza com una unió disjunta d'aquestes fibres circulars.
Una parametrització directa de la -esfera utilitzant el mapa de Hopf és la següent.
o en euclidià
On recorre el rang de a , recorre el rang de a , i pot prendre qualsevol valor de a . Cada valor de , excepte i que especifiquen cercles, especifica un tor pla separat a l'esfera , i un recorregut d'anada i tornada ( a ) de o fa que es faci un cercle complet de les dues extremitats del tor.
Una aplicació de la parametrització anterior a l'esfera és la següent, amb punts dels cercles parametritzats per .
Interpretació geomètrica mitjançant rotacions Una altra interpretació geomètrica de la fibració de Hopf es pot obtenir considerant les rotacions de l'esfera en un espai ordinari. El grup de rotació SO(3) té una doble cobertura, el grup d'espíns , difeomorf a l'esfera El grup d'espíns actua transitivament mitjançant rotacions. L' estabilitzador d'un punt és isomorf al grup de cercles; els seus elements són angles de rotació que deixen el punt donat immòbil, tots compartint l'eix que connecta aquest punt amb el centre de l'esfera. Es dedueix fàcilment que l'esfera és un fibrat de cercles principals sobre l'esfera , i aquesta és la fibració de Hopf.
Geometria i aplicacions miniatura|Les fibres de la fibració de Hopf es projecten estereogràficament a una família de cercles de Villarceau a R3 . La fibració de Hopf té moltes implicacions, algunes purament atractives, altres més profundes. Per exemple, la projecció estereogràfica S3 → R3 indueix una estructura remarcable a R3, que al seu torn il·lumina la topologia del feix . La projecció estereogràfica conserva els cercles i mapeja les fibres de Hopf a cercles geomètricament perfectes a R3 que omplen l'espai. Aquí hi ha una excepció: el cercle de Hopf que conté el punt de projecció mapeja una línia recta a R3 — un "cercle a través de l'infinit".
Les fibres sobre un cercle de latitud a S₂ formen un tor a S₃ (topològicament, un tor és el producte de dos cercles) i aquests projecten a tors imbricats a R₃ que també omplen l'espai. Les fibres individuals corresponen a cercles de Villarceau que enllaçen en aquests tors, amb l'excepció del cercle que passa pel punt de projecció i el que passa pel seu punt oposat: el primer correspon a una línia recta, el segon a un cercle unitari perpendicular a, i centrat en, aquesta línia, que es pot veure com un tor degenerat el radi menor del qual s'ha reduït a zero. Totes les altres imatges de fibra també encerclen la línia, i per tant, per simetria, cada cercle està enllaçat a través de tots els cercles, tant a R₃ com a S₃. Dos d'aquests cercles d'enllaç formen un enllaç de Hopf a R₃ .
Hopf va demostrar que l'aplicació de Hopf té un invariant de Hopf 1, i per tant no és homotòpica nul·la. De fet, genera el grup d'homotopia π3 (S2) i té ordre infinit.
En mecànica quàntica, l'esfera de Riemann es coneix com a esfera de Bloch, i la fibració de Hopf descriu l'estructura topològica d'un sistema de dos nivells o qubit de mecànica quàntica. De la mateixa manera, la topologia d'un parell de sistemes de dos nivells entrellaçats ve donada per la fibració de Hopf.
. Moreover, the Hopf fibration is equivalent to the fiber bundle structure of the Dirac monopole.
La fibració de Hopf també ha trobat aplicacions en robòtica, on s'ha utilitzat per generar mostres uniformes en SO(3) per a l'algorisme probabilístic de full de ruta en la planificació del moviment. També ha trobat aplicació en el control automàtic de quadrotors.
Referències
Categoria:Geometria Categoria:Topologia diferencial