La teoria dels elements de pales (BET) és un procés matemàtic dissenyat originalment per William Froude (1878), David W. Taylor (1893) i Stefan Drzewiecki (1885) per determinar el comportament de les hèlixs. Implica descompondre una pala en diverses parts petites i després determinar les forces sobre cadascun d'aquests petits elements de la pala. Aquestes forces s'integren al llarg de tota la pala i al llarg d'una revolució del rotor per obtenir les forces i els moments produïts per tota l'hèlix o rotor. Una de les principals dificultats rau en la modelització de la velocitat induïda al disc del rotor. Per això, la teoria dels elements de les pales sovint es combina amb la teoria del moment per proporcionar relacions addicionals necessàries per descriure la velocitat induïda al disc del rotor, produint la teoria del moment de l'element de les pales. En el nivell d'aproximació més bàsic, s'assumeix una velocitat induïda uniforme al disc:
Alternativament, la variació de la velocitat induïda al llarg del radi es pot modelar dividint la pala en petits anells i aplicant la conservació de la massa, el moment i l'energia a cada anell. Aquest mètode de vegades s'anomena equació de Froude-Finsterwalder.
Si el mètode de l'element de les pales s'aplica als rotors d'helicòpters en vol cap endavant, cal tenir en compte el moviment d'aleteig de les pales, així com la distribució longitudinal i lateral de la velocitat induïda al disc del rotor. Els models de flux d'entrada de vol cap endavant més simples són els models de primer harmònic.
Teoria simple de l'element de la fulla miniatura|400x400px|Fig 1. Element de la fulla Tot i que la teoria del moment és útil per determinar l'eficiència ideal, ofereix una explicació molt incompleta de l'acció de les hèlixs de cargol, descuidant, entre altres coses, el parell motor . Per tal d'investigar l'acció de l'hèlix amb més detall, es considera que les pales estan formades per diversos elements petits i es calculen les forces de l'aire sobre cada element. Així, mentre que la teoria del moment tracta del flux d'aire, la teoria de l'element de la pala tracta principalment de les forces sobre les pales de l'hèlix. La idea d'analitzar les forces sobre tires elementals de pales de l'hèlix va ser publicada per primera vegada per William Froude el 1878. Drzewiecki també la va elaborar de forma independent i es va presentar en un llibre sobre vol mecànic publicat a Rússia set anys més tard, el 1885. De nou, el 1907, Lanchester va publicar una forma una mica més avançada de la teoria de l'element de la pala sense coneixement de treballs anteriors sobre el tema. Tanmateix, la teoria simple de l'element de la pala se sol anomenar teoria de Drzewiecki, ja que va ser Drzewiecki qui la va posar en forma pràctica i la va portar a l'ús general. A més, va ser el primer a sumar les forces sobre els elements de les pales per obtenir l'empenta i el parell motor de tota una hèlix i el primer a introduir la idea d'utilitzar dades del perfil aerodinàmic per trobar les forces sobre els elements de les pales. miniatura|400x400px|Fig 2. Forces aerodinàmiques sobre un element de pala. En la teoria dels elements de les pales de Drzewiecki, l'hèlix es considera un perfil aerodinàmic deformat o retorçat, cada segment del qual segueix una trajectòria helicoïdal i es tracta com un segment d'una ala ordinària. Normalment, en la teoria simple, se suposa que els coeficients del perfil aerodinàmic obtinguts de les proves al túnel de vent d'ales model (normalment provades amb una relació d'aspecte de 6) s'apliquen directament als elements de les pales de l'hèlix de la mateixa forma de secció transversal.
El flux d'aire al voltant de cada element es considera bidimensional i, per tant, no es veu afectat per les parts adjacents de la pala. La independència dels elements de la pala en qualsevol radi donat respecte als elements veïns s'ha establert teòricament i també s'ha demostrat que és substancialment certa per a les seccions de treball de la pala mitjançant experiments especialsSears, W. R. (1947). On projectiles of minimum wave drag. Quarterly of Applied Mathematics, 4(4), 361-366. realitzats a aquest efecte. També se suposa que l'aire passa a través de l'hèlix sense flux radial ( és a dir, no hi ha contracció del corrent d'aire en passar pel disc de l'hèlix) i que no hi ha interferència de la pala. miniatura|Gràfic del parell motor del rotor respecte a la velocitat del vent per a una turbina de parada amb un diàmetre de rotor de 10 m. Les dades de disseny del rotor de la turbina s'extreuen de l'annex XIV i l'annex XVIII de l'Agència Internacional de l'Energia del NREL, provats al túnel de vent d'Ames de la NASA. Les corbes comparatives representen els resultats de la simulació entre QBlade i WT_Perf (codi BEM del NREL).
Forces aerodinàmiques sobre un element de pala Considereu l'element de radi r, que es mostra a la figura 1, que té una longitud infinitesimal dr i una amplada b. El moviment de l'element en una hèlix d'avió en vol és al llarg d'una trajectòria helicoïdal determinada per la velocitat d'avanç V de l'avió i la velocitat tangencial 2πrn de l'element en el pla del disc de l'hèlix, on n representa les revolucions per unitat de temps. La velocitat de l'element respecte a l'aire Vr és aleshores la resultant de les velocitats d'avanç i tangencial, com es mostra a la figura 2. Anomenem l'angle entre la direcció del moviment de l'element i el pla de rotació Φ, i l'angle de la pala β. L'angle d'atac α de l'element respecte a l'aire és aleshores .
Aplicant coeficients de perfil alar ordinaris, la força de sustentació sobre l'element és:
Sigui γ l'angle entre la component de sustentació i la força resultant, o Aleshores, la força aèria resultant total sobre l'element és:
L'empenta de l'element és el component de la força resultant en la direcció de l'eix de l'hèlix (Fig. 2), o i des de llavors Per comoditat, deixeu
i
Aleshores i l'empenta total de l'hèlix (de les pales B) és:
Si ens fixem de nou en la figura 2, la força tangencial o de parell de torsió és
i el parell de torsió de l'element és
que, si , es pot escriure
Per tant, l'expressió del parell de torsió de tota l'hèlix és
La potència absorbida per l'hèlix, o el parell motor, és
i l'eficiència és
Eficiència miniatura|400x400px|Fig. 3. Diagrama d'eficiència A causa de la variació de l'amplada, l'angle i la secció del perfil aerodinàmic al llarg de la pala, no és possible obtenir una expressió simple per a l'empenta, el parell motor i l'eficiència de les hèlixs en general. Tanmateix, un sol element situat a aproximadament dos terços o tres quarts del radi de la punta és força representatiu de tota l'hèlix i, per tant, és interessant examinar l'expressió de l'eficiència d'un sol element. L'eficiència d'un element és la relació entre la potència útil i la potència absorbida, o
Ara tan Φ és la relació entre la velocitat d'avanç i la velocitat tangencial, i . Segons la teoria simple de l'element de la pala, per tant, l'eficiència d'un element d'una hèlix depèn només de la relació entre la velocitat d'avanç i la velocitat tangencial i de la de la secció del perfil aerodinàmic.
El valor de Φ que dóna la màxima eficiència per a un element, tal com es troba diferenciant l'eficiència respecte a Φ i igualant el resultat a zero, és miniatura|400x400px|Fig. 4. Flux d'aire
La variació de l'eficiència amb Φ es mostra a la figura 3 per a dos valors extrems de γ . L'eficiència augmenta fins a un màxim a i després torna a caure a zero a Amb un de 28,6, l'eficiència màxima possible d'un element segons la teoria simple és de 0,932, mentre que amb un de 9,5 és només 0,812. Als valors de Φ en què treballen els elements més importants de la majoria de les hèlixs (10° a 15°), l'efecte de l'eficiència és encara més gran. Dins del rang de 10° a 15°, les corbes de la figura 3 indiquen que és avantatjós tenir tots dos de les seccions del perfil aerodinàmic i l'angle Φ (o l'avanç per revolució, i en conseqüència el pas) tan alt com sigui possible.
Limitacions Segons la teoria del moment, s'imparteix una velocitat a l'aire que passa a través de l'hèlix, i la meitat d'aquesta velocitat s'imparteix a l'aire quan arriba al pla de l'hèlix. Aquest augment de la velocitat de l'aire a mesura que passa al disc de l'hèlix s'anomena velocitat d'entrada. Sempre es troba on hi ha discontinuïtat de pressió en un fluid. En el cas d'una ala que es mou horitzontalment, l'aire rep una velocitat cap avall, com es mostra a la figura 4, i teòricament la meitat d'aquesta velocitat s'imparteix davant i per sobre de l'ala, i l'altra meitat per sota i per darrere.
Aquest flux descendent induït és present en les proves d'ala model a partir de les quals s'obtenen els coeficients de perfil aerodinàmic utilitzats en la teoria de l'element de la pala; per tant, el flux d'entrada indicat per la teoria del moment es té en compte automàticament en la teoria simple de l'element de la pala. Tanmateix, el flux descendent induït és molt diferent per a diferents relacions d'aspecte, sent zero per a una relació d'aspecte infinita. La majoria de les proves de perfil aerodinàmic model es fan amb ales rectangulars que tenen una relació d'aspecte arbitràriament escollida de 6, i no hi ha cap raó per suposar que el flux descendent en una prova d'aquest tipus correspon a l'entrada per a cada element d'una pala d'hèlix. De fet, la conclusió general extreta d'una sèrie exhaustiva de proves, en què es va mesurar la distribució de pressió sobre 12 seccions d'una hèlix model que funcionava en un túnel de vent, és que el coeficient de sustentació de l'element de la pala de l'hèlix difereix considerablement del mesurat al mateix angle d'atac en un perfil aerodinàmic de relació d'aspecte 6. Aquesta és una de les majors debilitats de la teoria simple de l'element de la pala.
Una altra debilitat és que no es considera la interferència entre les pales de l'hèlix. Els elements de les pales en qualsevol radi concret formen una cascada similar a un multiplà amb decalatge negatiu, com es mostra a la figura 5. A prop de les puntes, on la separació és gran, la interferència és molt petita, però cap a les arrels de les pales és força gran.
Malgrat totes les seves inexactituds, la teoria simple de l'element de la pala ha estat una eina útil a les mans dels dissenyadors d'hèlixs experimentats. Amb ella, un dissenyador hàbil que tingui un coneixement dels factors empírics adequats pot dissenyar hèlixs que normalment s'adapten força bé a les condicions principals que se'ls imposen, ja que absorbeixen la potència del motor gairebé a la velocitat de revolució adequada. Tanmateix, no són necessàriament les hèlixs més eficients per al seu propòsit, ja que la teoria simple no és prou precisa per mostrar lleugeres diferències d'eficiència a causa de canvis en la distribució del pas, les formes en planta, etc.
Exemple miniatura|400x400px|Fig. 6. Ordenades de la secció d'hèlix estàndard basada en la RAF-6.