En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.
Donada una funció aritmètica i un nombre primer , es defineix la sèrie de potències formal , anomenada sèrie de Bell de mòdul , com a:
Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives i , es té que si i només si:
per a tots els nombres primers .
Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol i , sigui la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer , es té que:
Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.
Si és completament multiplicativa, llavors:
Exemples A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.
La funció de Moebius té La funció φ d'Euler té La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet tiene La funció de Liouville té La funció potència Idk té Aquí, Idk és la funció completament multiplicativa . La funció divisor té
Bibliografia
Categoria:Funcions Bell