Un grup de tres elements és un grup finit que té tres elements. Per això diem que és d'ordre 3.
L'estructura d'un grup finit de tres elements s'explica a continuació. Sigui I = ({a, b, c}, *) un grup; cal que tingui un element neutre que ha de ser o bé a, o bé b, o bé c. Considerem que és a. Llavors a* a = a, a* b = b* a = b i a* c = c* a =c; atès que l'operació entre qualsevol nombre i l'element neutre dona el mateix nombre.
Suposem que els elements b i c siguin inversos de si mateixos. És a dir, b* b = a i c* c = a. Hem de veure quin pot ser el resultat de b* c i c* b. Si b* c = c* b = c (o bé igual a b) tindríem que b és l'element neutre, i això comporta una contradicció, atès que hem suposat que ho és a (que és diferent de b) i l'element neutre és únic. El mateix passaria si fos igual a b. Per tant, haurà de ser b* c ≠ c* b, és a dir, un grup no commutatiu. Anomenem el resultat d'aquestes operacions b* c = b i c* b = c sense perdre generalitat perquè l'altra opció és escriure-ho al revés. Ara se n'ha de comprovar l'associativitat. Però no ho és perquè (b* c)* b = b* b = a ≠ b*(c* b) = b* c = c. Per tant, no existeix cap grup no commutatiu de tres elements.
Hem demostrat per reducció a l'absurd que no podem tenir b i c d'ordre dos. L'altra alternativa és que els elements b i c siguin inversos l'un de l'altre. És a dir, b* c = a i c* b = a. S'ha de veure quin pot ser el resultat de b* b i c* c. Si b* b = b i c* c = c, ambdós b i c, actuarien com a element neutre, el que comporta contradicció, atès que ho és a i l'element neutre és únic. Per tant, haurà de ser b* b = c i c* c = b.
En conclusió, la taula del grup de tres elements és:
{| border="2" cellpadding="8" |- !* || a || b || c |- !a | a || b || c |- !b | b ||c ||a |- !c | c ||a || b
Manca comprovar-ne l'associativitat però no és difícil veure que sí que es compleix en tots els casos. Per exemple, b*(b* c) = (b* b)* c perquè b*(b* c) = b* a = b, (b* b)* c = c* c = b.
Per tant, aquesta estructura és l'única possible per a un grup de tres elements.
Propietats Tot grup de tres elements és cíclic i abelià. Com hem dit, el grup cíclic és l'únic grup de 3 elements que existeix llevat d'isomorfisme El grup additiu de les classes de residus dels enters mòdul 3, anomenat ℤ/3ℤ és la manera usual de mostrar el grup de tres elements.
Vegeu també Llista de grups petits Grup finit d'un element Grup finit de dos elements
Categoria:Teoria de grups