En teoría de la probabilidá y estadística, la distribución de probabilidá d'una variable aleatoria ye una función qu'asigna a cada socesu definíu sobre la variable la probabilidá de que dichu socesu asoceda. La distribución de probabilidá ta definida sobre'l conxuntu de tolos socesos y cada unu de los socesos ye'l rangu de valores de la variable aleatoria. Tamién puede dicise que tien una rellación estrecha coles distribuciones de frecuencia. Ello ye que una distribución de probabilidaes puede entendese como una frecuencia teórica, yá que describe cómo s'espera que varien los resultaos.
La distribución de probabilidá ta dafechu especificada pola función de distribución, que'l so valor en cada x real ye la probabilidá de que la variable aleatoria seya menor o igual que x.
Tipos de variables Variable aleatoria: Ye aquella que'l so valor ye'l resultáu d'un eventu aleatoriu. Lo que quier dicir que son los resultaos que se presenten al azar en cualquier eventu o esperimentu. Variable aleatoria discreta: Ye aquella que solo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del contéu realizáu. Variable aleatoria continua: Ye aquella que resulta xeneralmente de la midida y puede tomar cualquier valor dientro d'un intervalu dau.
División de distribuciones Esta división realízase dependiendo del tipu de variable a estudiar. Los cuatro principales (de les que nacen toles demás) son:
a) Si la variable ye una variable discreta (valores enteros), va corresponder una distribución discreta, de les cualos esisten: Distribución binomial (eventos independientes). Distribución de Poisson (eventos independientes). Distribución hiperxeométrica (eventos dependientes). b) Si la variable ye continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dientro d'un intervalu, la distribución que se va xenerar va ser una distribución continua, tamién llamada distribución normal o gaussiana.
Amás, puede utilizase la "distribución de Poisson como un aproximamientu de la distribución binomial" cuando la muestra por estudiar ye grande y la probabilidá d'ésitu ye pequeña. De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surde una conocida como "distribución normal como un aproximamientu de la distribución binomial y de Poisson".
Definición de función de distribución
Dada una variable aleatoria , el so función de distribución, , ye Por simplicidá, cuando nun hai llugar a tracamundiu, suel omitise'l subíndice y escríbese, a cencielles, . Onde na fórmula anterior: , ye la probabilidá definida sobre un espaciu de probabilidá y una midida unitaria sobre'l espaciu muestral. ye la midida sobre la σ-álxebra de conxuntos acomuñada al espaciu de probabilidá. ye l'espaciu muestral, o conxuntu de tolos posibles socesos aleatorios, sobre'l que se define l'espaciu de probabilidá en cuestión. ye la variable aleatoria en cuestión, esto ye, una función definida sobre l'espaciu muestral a los númberos reales.
Propiedaes De resultes cuasi inmediata de la definición, la función de distribución: Ye una función continua pela derecha. Ye una función monótona non decreciente. Amás, cumple Pa dos númberos reales cualesquier y tal que , los socesos y son mutuamente escluyentes y la so unión ye'l socesu , polo que tenemos entós que:
y finalmente
Polo tanto una vegada conocida la función de distribución pa tolos valores de la variable aleatoria vamos conocer dafechu la distribución de probabilidá de la variable.
Pa realizar cálculos ye más cómodu conocer la distribución de probabilidá, y sicasí pa ver una representación gráfica de la probabilidá ye más práuticu l'usu de la función de densidá.
Distribuciones de variable discreta thumb|Gráfica de distribución binomial. Denominar distribución de variable discreta a aquella que la so función de probabilidá solo toma valores positivos nun conxuntu de valores de finito o infinitu numerable. A dicha función llámase-y función de masa de probabilidá. Nesti casu la distribución de probabilidá ye la suma de la función de masa, polo que tenemos entós que:
Y, tal como correspuende a la definición de distribución de probabilidá, esta espresión representa la suma de toles probabilidaes dende hasta'l valor .
Tipos de distribuciones de variable discreta
Definíes sobre un dominiu finito La distribución binomial, que describe'l númberu d'aciertos nuna serie de n esperimentos independientes con posibles resultaos binarios, esto ye, de "sí" o "non", toos ellos con probabilidá d'aciertu p y probabilidá de fallu q = 1 − p. La distribución de Bernoulli, la clásica binomial, que toma valores "1", con probabilidá p, o "0", con probabilidá q = 1 − p (ensayu de Bernoulli). La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidá 1/2 cada unu. La distribución beta-binomial, que describe'l númberu d'aciertos nuna serie de n esperimentos independientes con posibles resultaos "sí" o "non", cada unu d'ellos con una probabilidá d'aciertu variable definida por una beta. La distribución dexenerada en x0, na que X toma'l valor x0 con probabilidá 1. A pesar de que nun paez una variable aleatoria, la distribución satisfai tolos requisitos pa ser considerada como tal. La distribución uniforme discreta, que recueye un conxuntu finito de valores que son resulten ser toos igualmente probables. Esta distribución describe, por casu, el comportamientu aleatoriu d'una moneda, un dadu, o una ruleta de casino equilibraos -ensin sesgu-. La distribución hiperxeométrica, que mide la probabilidá de llograr x (0 ≤ x ≤ d) elementos d'una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población ensin reemplazu. La distribución hiperxeométrica non central de Fisher. La distribución hiperxeométrica non central de Wallenius. La llei de Benford, que describe la frecuencia del primer díxitu d'un conxuntu de númberos en notación decimal. Definíes sobre un dominiu infinitu La distribución binomial negativa o distribución de Pascal, que describe'l númberu d'ensayos de Bernoulli independientes necesarios pa consiguir n aciertos, dada una probabilidá individual d'ésitu p constante. La distribución xeométrica, que describe'l númberu d'intentos necesarios hasta consiguir el primer aciertu. La distribución beta-binomial negativa, que describe'l númberu d'esperimentos del tipu "si/non" necesarios pa consiguir n aciertos, cuando la probabilidá d'ésitu de cada unu de los intentos ta distribuyida acordies con una beta. La distribución binomial negativa estendida. La distribución de Boltzmann, importante en mecánica estadística, que describe la ocupación de los niveles d'enerxía discretos nun sistema n'equilibriu térmicu. Dellos casos especiales son: La distribución de Gibbs. La distribución de Maxwell–Boltzmann. La distribución elíptica asimétrica. La distribución fractal parabolica. La distribución hiperxeométrica estendida. La distribución logarítmica. La distribución logarítmica xeneralizada. La distribución de Poisson, que describe'l númberu d'eventos individuales qu'asoceden nun periodu de tiempu. Esisten diverses variantes como la distribución de Poisson movida, la hiperdistribución de Poisson, la distribución binomial de Poisson y la distribución de Conway–Maxwell–Poisson, ente otres. La distribución de Polya-Eggenberger. La distribución Skellam, que describe la diferencia de dos variables aleatories independientes con distribuciones de Poisson de distintu valor esperáu. La distribución de Yule–Simon. La distribución zeta, qu'utiliza la función zeta de Riemman p'asignar una probabilidá a cada númberu natural. La llei de Zipf, que describe la frecuencia d'usu de les pallabres d'una llingua. La llei de Zipf–Mandelbrot ye una versión más precisa de l'anterior.
Distribuciones de variable continua thumb|Distribución normal. Denominar variable continua a aquella que puede tomar cualesquier de los infinitos valores esistentes dientro d'un intervalu. Nel casu de variable continua la distribución de probabilidá ye la integral de la función de densidá, polo que tenemos entós que:
Tipos de distribuciones de variable continuaDistribuciones definíes nun intervalu acutáu La distribución arcoseno, definida nel intervalu [a,b]. La distribución beta, definida nel intervalu [0, 1], que ye útil a la d'envalorar probabilidaes. La distribución del cosenu alzáu, sobre l'intervalu [\mu-s,\mu+s]. La distribución dexenerada en x0, na que X toma'l valor x0 con probabilidá 1. Puede ser considerada tanto una distribución discreta como continua. La distribución de Irwin-Hall o distribución de la suma uniforme, ye la distribución correspondiente a la suma de n variables aleatories i.i.d. ~ O(0, 1). La distribución de Kent, definida sobre la superficie d'una esfera unitaria. La distribución de Kumaraswamy, tan versátil como la beta, pero con FDC y FDP más simples. La distribución logarítmica continua. La distribución logit-normal en (0, 1). La distribución normal truncada, sobre l'intervalu [a, b]. La distribución reciproca, un tipu de distribución inversa. La distribución triangular, definida en [a, b], de la cual un casu particular ye la distribución de la suma de dos variables independientes uniformemente distribuyíes (la convolución de dos distribuciones uniformes). La distribución uniforme continua definida nel intervalu zarráu [a, b], nel que la densidá de probabilidá ye constante. La distribución rectangular ye'l casu particular nel intervalu [-1/2, 1/2]. La distribución O-cuadrática, definida en [a, b], utilizada pa modelar procesos bimodales simétricos. La distribución von Mises, tamién llamada distribución normal circular o distribución Tikhonov, definida sobre'l círculu unitariu. La distribución von Mises-Fisher, xeneralización de l'anterior a una esfera N-dimensional. La distribución semicircular de Wigner, importante nel estudiu de les matrices aleatories.Definíes nun intervalu semi-infinitu, usualmente [0,∞) La distribución beta prima. La distribución de Birnbaum–Saunders, tamién llamada distribución de resistencia a la fatiga de materiales, utilizada pa modelar tiempos de fallu. La distribución chi. La distribución chi non central. La distribución χ² o distribución de Pearson, que ye la suma de cuadraos de n variables aleatories independientes gaussianas. Ye un casu especial de la gamma, utilizada en problemes de bondá d'axuste. La distribución chi-cuadrada inversa. La distribución chi-cuadrada inversa esguilada. La distribución chi-cuadrada non central. La distribución de Dagum. La distribución esponencial, que describe'l tiempu ente dos eventos consecutivos nun procesu ensin memoria. La distribución F, que ye la razón ente dos variables y independientes. Utilízase, ente otros usos, pa realizar analises de varianza per mediu del test F. La distribución F non central. La distribución de Fréchet. La distribución gamma, que describe'l tiempu necesariu por qu'asocedan n repeticiones d'un eventu nun procesu ensin memoria. La distribución de Erlang, casu especial de la gamma con un parámetru k enteru, desenvuelta pa predicir tiempos d'espera en sistemes de llinies d'espera. La distribución gamma inversa. La distribución gamma-Gompertz, que s'utiliza en modelos pa envalorar la esperanza de vida. La distribución de Gompertz. La distribución de Gompertz movida. La distribución de Gumbel tipu-2. La distribución de Lévy.Distribuciones nes que'l llogaritmu d'una variable aleatoria ta distribuyíu conforme a una distribución estándar: La distribución log-Cauchy. La distribución log-gamma. La distribución log-Laplace. La distribución log-logistic. La distribución log-normal. La distribución de Mittag–Leffler. La distribución de Nakagami. Variantes de la distribución normal o de Gauss: La distribución normal pleglada. La distribución semi normal.