El cálculo vectorial o multivariable, también llamado análisis vectorial, es la rama de las matemáticas que aplica los conceptos del análisis matemático a las funciones vectoriales. Estas son funciones entre espacios vectoriales, es decir, que pueden tener varias variables y dan como resultado un vector en una o varias dimensiones. El cálculo vectorial estudia los límites, continuidad, diferenciabilidad e integración de estas funciones, de modo análogo a como el análisis real estudia las funciones reales de una variable.

El cálculo vectorial tiene importantes aplicaciones en física e ingeniería. Muchas magnitudes en física pueden estudiarse mediante campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio (o un escalar en el caso particular de los campos escalares) y por tanto son funciones vectoriales. Por ejemplo, la distribución de temperaturas de la atmósfera es un campo escalar: cada punto tiene asociado un valor de temperatura distinto que varía gradualmente de un punto a otro. Por contra, la velocidad del viento es un campo vectorial: cada punto tiene asociado un vector que representa la dirección y magnitud del flujo de aire.

La derivada de una función vectorial es técnicamente una aplicación lineal y por tanto viene dada por una matriz, llamada matriz jacobiana. En el caso particular de los campos escalares la derivada es una matriz fila (un vector) llamada gradiente que apunta en la dirección hacia la que más aumenta el valor del campo. Otros operadores diferenciales de interés son el rotacional (o rotor), la divergencia y el laplaciano. La integración de funciones a lo largo de un dominio de dimensión superior a uno se resuelve, gracias al Teorema de Fubini, mediante integrales múltiples, siendo necesarias tantas como dimensiones tenga el espacio. Los teoremas de Green, de Stokes y de la divergencia relacionan varias de estas operaciones entre sí.

El cálculo vectorial se vale de las herramientas del análisis (tradicionalmente llamado cálculo infinitesimal) y del álgebra lineal. Su ámbito de estudio son los espacios euclídeos, reales o complejos, y las funciones entre estos. A su vez, la generalización a variedades (como pueden ser las superficies) es la geometría diferencial.

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heavisidehttp://worrydream.com/refs/Crowe-HistoryOfVectorAnalysis.pdf sección 5 (1850-1925).

Recientemente, se ha desarrollado el Cálculo Fraccional de Conjuntos (en inglés, Fractional Calculus of Sets o FCS) como una metodología derivada del Cálculo Fraccional. Esta metodología, mencionada por primera vez en el artículo "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods tiene como objetivo caracterizar y organizar los elementos del cálculo fraccional mediante el uso de conjuntos, aprovechando la variedad de operadores fraccionales disponibles en la literatura.A review of definitions for fractional derivatives and integralA review of definitions of fractional derivatives and other operatorsHow many fractional derivatives are there?Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receiversCode of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programmingSets of Fractional Operators and Some of Their Applications

Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:

Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que . Considerando una función escalar y la base canónica de denotada por , el siguiente operador fraccional de orden se define utilizando notación de Einstein:Einstein summation for multidimensional arrays

Denotando como la derivada parcial de orden con respecto al componente -ésimo del vector , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales

Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición, un vector donde el punto O es nuestro origen de coordenadas. con y . Cuando tenemos un campo escalar. Para tenemos un campo vectorial. Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores.

Límites y continuidad

Si y Escribimos:

,

o bien,

cuando

para expresar lo siguiente:

donde es la norma euclídea de . Expresándolo en función de las componentes de

o, de forma equivalente,

Derivadas direccionales

Derivada de un campo escalar respecto a un vector

thumb

Derivadas parciales

Si derivamos la expresión anterior respecto a una segunda variable, , tendremos . En la práctica, calcularemos derivando respecto a y suponiendo ctm constante.

La diferencial

Definición de campo escalar diferenciable

La anterior ecuación es la fórmula de Taylor de primer orden para .

Teorema de unicidad de la diferencial

Regla de la cadena

Diferencial de un campo vectorial

Expresando en función de sus componentes, tenemos

Esta es la fórmula de Taylor de primer orden para . La matriz de es su matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidad

Se deduce fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orden ya vista.

Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales

Condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales mixtas

Aplicaciones del cálculo diferencial

Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares

thumb|Función con un punto de ensilladura Para saber si es uno de los casos anteriores: Obtenemos Obtenemos la matriz hessiana de f. Sea esta . es definida positiva tiene un mínimo local (mínimo relativo) en . es definida negativa tiene un máximo local (máximo relativo) en . es indefinida tiene un punto de ensilladura en .

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que es continua

Véase también Cálculo de matrices Integral de línea Integral de superficie Integral múltiple Multiplicadores de Lagrange 1-forma coordenadas ortogonales dual de Hodge electrostática magnetostática operador nabla teorema de la divergencia teorema de Green teorema de Stokes

Referencias

Bibliografía Apostol, Tom M., Calculus, volumen 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X Luis Santaló (1977) Vectores y Tensores con sus Aplicaciones, Editorial Universitaria de Buenos Aires.

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