Sea un espacio topológico.
será un subespacio de es un espacio topológico para la topología inducida por en , llamada topología del subespacio, topología inducida, topología relativa o topología traza.
Definición
Con definido arriba, definimos la topología del subespacio, , sobre como . Es decir, un subconjunto de S es abierto si es intersección de S con algún abierto de X.
Ejemplo
En la recta real, , con su topología habitual ... La topología del subespacio , subespacio de , es la topología discreta.
Propiedades
Todo conjunto cerrado es la intersección de S con un conjunto cerrado de X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) S es un subespacio abierto de X. ii) Un subespacio de S es abierto en S. iii) El subespacio de S es abierto en X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) S es un subespacio cerrado de X. ii) Un subespacio de S es cerrado en S. iii) El subespacio de S es cerrado en X. es una base para es una base para el subespacio . La topología inducida por un espacio métrico a un subconjunto por la restricción de la métrica del espacio a ese subconjunto es la topología inducida del subespacio para ese subconjunto.
Véase también
la noción dual espacio cociente
Referencias
Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966) Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6
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