El teorema de la conservación del signo establece que si una función es continua en el un punto ( contenido en ) y es positiva en , entonces existe un entorno (abierto) del punto (de radio ), en el que la función es positiva. Análogamente, si es negativa en , existe un entorno (abierto) del punto (de radio ), en el que la función es negativa.
Enunciado
Demostración Por hipótesis, es una función continua en el punto . Entonces Por la definición de límite: . Tomamos . Entonces
Sumando :
Por hipótesis:
Observaciones y curiosidades Este teorema se suele usar para demostrar el teorema de Bolzano.