En álgebra ecuación recíproca se llama a la ecuación polinómica en la que si distinto de cero, es una solución, entonces también lo será .
Desplegando
Esto implica que al reemplazar x por 1/x en la ecuación propuesta, y eliminar los denominadores, se obtiene la misma ecuación, esto es:
entonces se verifica:
ak = an-k para k = 0, 1,...,n."Diccionario de matemáticas" (2001), Espinoza de los Monteros, Julián (Coordinador); ISBN 84-8055-355-3, pg.93
Ecuación cuártica recíproca
Sin embargo, en el caso de la ecuación algebraica de cuarto grado del tipo
se denomina recíproca (e diferente de 0), si existe un número α ≠ 0 tal que, entre los coeficientes de la ecuación a, b. c, d, e hayan las relaciones
Empleando la sustitución después de dividir entre x2 la ecuación original, y teniendo en cuenta que se obtiene una ecuación cuadrática respecto a y:
. "álgebra superior" (1982) Hall and Knight; Uteha, México, D.F. ISBN 968-438-763-6 pg.120
la que da dos raíces de y, que permite estructurar dos ecuaciones de segundo grado en x
donde y1 e y2 son raíces de la ecuación cuadrática en y (1).
Casos de ecuación cuártica recíproca
Ecuación simétrica Cuando α = 1, en el caso de la ecuación cuártica recíproca, resulta
, los coeficientes de los términos equidistantes del término cuadrático son idénticosHall-Knigt. Op. cit
Ecuación antisimétrica Asumiendo que α = -1, da como resultado
, la que se conoce como ecuación antisimétrica de cuarto grado. Los coeficientes de los términos de grado impar son opuestos.
Véase también Ecuación diofántica Ecuaciones cuárticas Ecuaciones cuadráticas
Referencias
Bibliografía Lehmann H., Charles:(1969) Álgebra; Editorial Limusa-Wiley, S.A. México, D.F.
Categoría:Ecuaciones algebraicas