La probabilidad es una medida de la certidumbre de que ocurra un evento. Su valor es un número entre 0 y 1, donde un evento imposible corresponde a cero y uno seguro corresponde a uno.
Una forma empírica de estimar la probabilidad consiste en obtener la frecuencia con la que sucede un determinado acontecimiento mediante la repetición de experimentos aleatorios, bajo condiciones suficientemente estables. En algunos experimentos de los que se conocen todos los resultados posibles, las probabilidades de estos sucesos pueden ser calculadas de manera teórica, especialmente cuando todos los resultados son igualmente probables.
La teoría de la probabilidad es la rama de la matemática que estudia los experimentos o fenómenos aleatorios. Se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la economía (ciencia económica), las finanzas, la ciencia de datos, la Investigación médica, en mediano grado en algunas de las demás ciencias sociales y en menor grado en la filosofía para conocer la viabilidad de sucesos y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Terminología de la teoría de la probabilidad thumb|250px|Probabilidades de lanzar varios números con dos dados. Experimento: Una operación que puede producir algunos resultados bien definidos pero que no se puede predecir cuál de ellos se obtendrá, se llama un experimento aleatorioEjemplo: Cuando se lanza una moneda, se sabe que solo puede aparecer cara o cruz. Sin embargo no se puede predecir al momento de lanzar la moneda en cuál lado caerá.Ejemplo: Cuando se lanza un dado se sabe que en la cara superior puede aparecer cualquiera de los números 1,2,3,4,5, o 6 pero no se puede predecir cuál aparecerá.Espacio muestral: Todos los resultados posibles de un experimento en su conjunto, forman el Espacio de la muestra.<blockquote>Ejemplo: Cuando lanzamos un dado se puede obtener cualquier resultado del 1 al 6. Todos los números posibles que pueden aparecer en la cara superior forman el Espacio Muestral (denotado por S). El espacio muestral de una tirada de dados es S={1,2,3,4,5,6}</blockquote>Resultado: Cualquier elemento posible del espacio muestral S de un experimento aleatorio se llama Resultado. Ejemplo: Cuando lanzamos un dado, podemos obtener 3 o cuando lanzamos una moneda, podemos obtener cara.Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral S se llama un Evento (denotado por E). Cuando se produce un resultado que pertenece al subconjunto E, se dice que ha ocurrido un suceso. Mientras que, cuando un resultado que no pertenece al subconjunto E tiene lugar, el Evento no ha ocurrido.Ejemplo: Considérese el experimento de lanzar un dado. Aquí el espacio muestral S={1,2,3,4,5,6}. Sea E el evento de "que aparezca un número menor de 4". Así, el suceso E={1,2,3}. Si aparece el número 1, se dice que el suceso E ha ocurrido. Del mismo modo, si los resultados son 2 ó 3, se puede afirmar que se ha producido el Suceso E, ya que estos resultados pertenecen al subconjunto E'Ensayo: Por ensayo, se entiende la realización de un experimento aleatorio. Ejemplo: (i) Lanzar una moneda justa, (ii) lanzar un dado imparcial
Interpretaciones Cuando se trata de experimentos que son aleatorios y bien definidos en un entorno puramente teórico (como lanzar una moneda), la probabilidad puede describirse numéricamente por el número de resultados deseados, dividido por el número total de todos los resultados. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire dos veces, se obtendrán resultados de "cara-cara", "cara-cruz", "cruz-cara" y "cruz-cruz". La probabilidad de obtener un resultado de "cara-cara" es 1 de cada 4 resultados, o, en términos numéricos, 1/4, 0,25 o 25%. Sin embargo, en lo que respecta a la aplicación práctica, existen dos grandes categorías de interpretaciones de la probabilidad que compiten entre sí, y cuyos partidarios mantienen puntos de vista diferentes sobre la naturaleza fundamental de la probabilidad:
Los objetivistas asignan números para describir algún estado de cosas objetivo o físico. La versión más popular de la probabilidad objetiva es la probabilidad frecuentista, que afirma que la probabilidad de un evento aleatorio denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento cuando este se repite indefinidamente. Esta interpretación considera que la probabilidad es la frecuencia relativa "a largo plazo" de los resultados. Una modificación de esto es la probabilidad de propensión, que interpreta la probabilidad como la tendencia de algún experimento a producir un determinado resultado, incluso si se realiza solo una vez. Los subjetivistas asignan números por probabilidad subjetiva, es decir, como un grado de creencia. El grado de creencia se ha interpretado como "el precio al que se compraría o vendería una apuesta que paga 1 unidad de utilidad si E, 0 si no E. " La versión más popular de la probabilidad subjetiva es la probabilidad bayesiana, que incluye el conocimiento de los expertos así como datos experimentales para calcular probabilidades. El conocimiento experto está representado por alguna distribución de probabilidad a priori (subjetiva). Estos datos se incorporan a una función de verosimilitud. El producto de la función a priori y la función de verosimilitud, cuando se normaliza, da lugar a una probabilidad a posteriori que incorpora toda la información conocida hasta la fecha. Por el teorema de la concordancia de Aumann, los agentes bayesianos cuyas creencias a priori son similares terminarán con creencias posteriores similares. Sin embargo, unas creencias previas suficientemente diferentes pueden llevar a conclusiones diferentes, independientemente de la cantidad de información que compartan los agentes.
Etimología
La palabra probabilidad deriva del latín probabilitas, que también puede significar "probidad", una medida de la autoridad de un testigo en un caso legal en Europa, y a menudo correlacionada con la nobleza del testigo. En cierto sentido, esto difiere mucho del significado moderno de probabilidad, que en cambio es una medida del peso de la evidencia empírica, y se llega a ella a partir del razonamiento inductivo y la inferencia estadística.Hacking, I. (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge University Press,
Historia
La definición de probabilidad se produjo debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro, por eso a través de la historia se han desarrollado diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores.
El diccionario de la Real Academia Española (R.A.E) define «azar» como una casualidad, un caso fortuito, y afirma que la expresión «al azar» significa «sin orden». La idea de probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simon Laplace afirmó: «Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano». Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.
Según Amanda Dure, «Antes de la mitad del siglo XVII, el término "probable" (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían dadas las circunstancias».Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). pp. 54-55. ISBN 0-521-39459-7
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el , la doctrina de la probabilidad data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más antiguo al concepto, seguido por la Kybeia de Juan Caramuel (1670). Varios de los citados autores —Fermat, Pascal y Caramuel— mencionan en sus respectivas correspondencias un Ars Commutationes de Sebastián de Rocafull (1649), hoy perdido. El fundamental Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores se remonta hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de probabilidad. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva , siendo cualquier error e su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva: es simétrica al eje ; el eje es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0; la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error. Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero su fórmula llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,
siendo y constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para , el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el , entre los autores de la teoría general se incluían Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
En 1930 Andréi Kolmogorov desarrolló la base axiomática de la probabilidad utilizando teoría de la medida.
En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Nacho Ramis de Ayreflor, Watson y Artemas Martin).
Teoría
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.