En la teoría de juegos, un juego estocástico, introducido por Lloyd Shapley a principios de 1950, es un juego dinámico con transiciones probabilísticas jugado por uno o más jugadores. El juego se desarrolla en una secuencia de etapas. Al comienzo de cada etapa del juego se está en algún estado. Los jugadores eligen acciones y cada jugador recibe un pago que depende del estado actual y las acciones elegidas. El juego se mueve a un nuevo estado aleatoriamente cuya distribución depende del estado previo y las acciones elegidas por los jugadores. El procedimiento se repite en el nuevo estado y el juego continúa por un número finito o infinito de etapas. El pago total a un jugador se toma a menudo como la suma descontada de los pagos etapa por etapa o el límite inferior de los promedios de las rentabilidades de cada etapa.
Los juegos estocásticos generalizan tanto los procesos de decisión de Markov y los juegos repetidos.
Teoría
Los ingredientes de un juego estocástico son: un conjunto finito de jugadores ; Un espacio de estados , (Ya sea un conjunto finito o un espacio medible , un conjunto de jugadores , Un conjunto de acciones (Ya sea un conjunto finito o un espacio medible ); una transición de probabilidad , donde son los perfiles de acción a , donde es la probabilidad de que el siguiente estado este en , dado el estado actual es y el perfil de acción actual es .
El juego comienza en un estado inicial . En la etapa , Los jugadores primero observan , a continuación, elija simultáneamente acciones , posteriormente observe el perfil de acción , en donde la naturaleza selecciona de acuerdo a la probabilidad . Una jugada del partido estocástico, , Define una corriente de pagos , en donde .
Juegos diferenciales estocásticos en tiempo continuo
Recientemente, la teoría de los juegos estocásticos se ha expandido hacia los juegos diferenciales estocásticos en tiempo continuo, los cuales permiten modelar interacciones dinámicas de múltiples agentes donde las variables cambian de forma ininterrumpida, a diferencia de los modelos tradicionales basados en etapas discretas. Históricamente, encontrar soluciones a estos juegos para múltiples jugadores presentaba un obstáculo matemático y computacional severo conocido como la "maldición de la dimensionalidad", derivado de la alta complejidad y no linealidad de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Sin embargo, investigaciones recientes (como las de Monika Tomar y Takashi Tanaka en 2026) han demostrado que es posible superar este límite aplicando transformaciones matemáticas, como la transformación generalizada multivariante de Cole-Hopf. Este enfoque permite linealizar y desacoplar las ecuaciones del sistema, facilitando el cálculo eficiente y sin rejillas de los equilibrios de Nash mediante métodos como la integral de camino de Feynman-Kac. Estos avances tienen aplicaciones directas en la resolución de conflictos espaciales multiagente en el mundo real, tales como la planificación de rutas y la prevención de congestión en sistemas de navegación autónoma.
Lecturas adicionales
(suitable for undergraduates; main results, no proofs)
Referencias
Categoría:Teoría de juegos