Aun cuando no hay una definición formal de cuasi-empirismo matemático, este puede ser entendido como la tentativa, en el contexto de la filosofía de las matemáticas, de llamar la atención a que el conocimiento matemático no es, como muchos asumen, radicalmente diferente al resto del conocimiento científico. En las palabras de I. Lakatos: “Una asunción básica detrás de la tesis fundacionista es que el conocimiento matemático es a priori e infalible.... La verdadera fuerza de esa asunción.. es que la matemática es radicalmente diferente a las ciencias naturales, en las cuales el conocimiento es tan obviamente a posteriori y falible. Es precisamente esa conclusión la que Lakatos ataca. Su objetivo es resolver el abismo entre las descripciones filosóficas de la matemáticas y las de la ciencia natural. Ese es el punto del empirismo en las matemáticas. Sin embargo Lakatos no propone que las matemáticas son como las ciencias empíricas, sino a lo más es cuasi-empírica”. (énfasis del traductor) en A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics (en New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Anthology (Revised and Expanded Edition) Tom Tymoczko (edtr) Hilary Putnam: "El conocimiento matemático se asemeja conocimiento empírico - es decir, el criterio de la verdad en las matemáticas, al igual que en la física, es el éxito de nuestras ideas en la práctica, y en que el conocimiento matemático es corregible y no absoluto" (H. Putnam. (1975): What is Mathematical Truth?). Thomas Tymoczko, editor de New Directions in the Philosophy of Mathematics:An Anthology escribe, en la introducción, que "Si miramos, sin prejuicios, las matemáticas, se destacan como relevantes muchas características que fueron ignorados por los fundacionalistas: pruebas informales, el desarrollo histórico, la posibilidad de errores matemáticos, las explicaciones matemáticas (en contraste con pruebas), la comunicación entre los matemáticos, el uso de la de las computadoras en las matemáticas modernas, y muchos más " La sugerencia es un llamado a no sólo concentrarse en los aspectos formales de los fundamentos de las matemáticas, sino incluir el estudio de la práctica matemática, la manera en que los matemáticos realmente proceden (ver La heurística como metodología científica), y el cómo esa práctica se relaciona con otras ramas del conocimiento; en particular, a las relaciones con la física, ciencias sociales, y «matemáticas computacionales». Hay varios temas que son de interés para esta discusión: la relación del empirismo con las matemáticas, las cuestiones relacionadas con el realismo, la importancia de la cultura, urgencia o necesidad de cualquier aplicación, etc.
De acuerdo a Imre Lakatos, una característica fundamental del cuasi-empirismo es que este considera que sus demostraciones no son eternas o necesariamente verdaderas:
El cuasi-empirismo se contrapone al proyecto (o escuela) fundacionalista: la tentativa de proveer el conocimiento matemático con bases firmes e indudables. I. Lakatos: "Para el comienzo de este siglo (XX) las matemáticas, 'el paradigma de la certeza y verdad', parecía ser la última plaza fuerte de los euclidianos ortodoxos. Pero habían, ciertamente, algunas fallas incluso en la organización euclidiana de las matemáticas, y esas fallas causaban una conmoción considerable. Así, el problema central de todas las escuelas fundacionales era: "establecer de una vez por todas la certitud del método matemático" (Hilbert). Sin embargo, los estudios fundacionales llevaron, inesperadamente, a la conclusión que una reorganización euclidiana de la totalidad de las matemáticas puede ser imposible, que, al menos las teorías matemáticas mas ricas eran, como las teorías científicas, cuasi-empiricas. El euclidismo sufrió una derrota incluso en su plaza fuerte". en "A Renaissance of Empiricism', etc sección 3: Mathematics is Quasi-empirical
Consecuentemente se ha aducido que la tesis central del cuasi-empirismo es que A) no podemos saber que hemos obtenido la verdad, pero B) podemos mejorar nuestro conocimiento y saber que lo hemos mejorado. Teun Koetsier (2002): Lakatos’ Mitigated Scepticism in the Philosophy of Mathematics en Appraising Lakatos: Mathematics, Methodology and the Man pp 189- 203 (György Kampis, L. Kvasz, Michael Stöltzner, edtrs) (véase también Teoría de la justificación).
Origen del concepto El origen del cuasi-empirismo puede ser trazado al empirismo matemático Para una visión general del empirismo matemático, ver David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230 de John Stuart Mill,J. S. Mill: "La matemática es la ciencia empírica de validez más general.".- citado por Mario A. Natiello en Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel .- Véase también J. S. Mill: System of logic ("El sistema de la lógica"), vol 2, libro III, cap XXIV, punto 4, p 162, etc para quien los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades acerca del mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998. pp. 125-126).
A pesar de que la sugerencia de Mill no encontró muchos seguidores (Philip Kitcher: "el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas ironías de Frege) y, en adición, Mill solo considera las más rudimentarias partes de la matemáticas" P Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, p 4 (introducción) ), posteriormente la idea básica fue, aparte de Kitcher mismo y entre otros, retomada por: Stephan Körner; S. Körner, (1965): "An Empiricist Justification of Mathematics", en Yehoshua Bar-Hillel (ed.), "Logic, Methodology and Philosophy of Science".- Amsterdam: North Holland, 1965, pp. 222-227. (cuentas de "International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science" 1964) László Kalmár. L Kalmár (1967): "Foundations of mathematics - Whither now?" en I. Lakatos (ed.). "Problems in the Philosophy of Mathematics" Amsterdam: North-Holland, 1967, pp. 192-193. (Proceedings of the Colloquium in the Philosophy of Science, London, 1965.) y Carl E. Behrens, quien sugiere que "Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana, podemos escapar del indefinible universo platónico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana búsqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofía desde los tiempos de los griegos. C. E. Behrens (2012): Empiricism: An Environment for Humanist Mathematics Para Körner, "las teorías científicas integradas en la matemática funcionan y están justificadas, junto con su marco de trabajo matemático como constituyentes sincategoremáticos En la lógica escolástica, un término sincategoremático (sincategorema) es una palabra que no puede servir como el sujeto o el predicado de una proposición, y por lo tanto no puede representar a ninguna de las categorías de Aristóteles, pero se puede utilizar con otros términos para formar una proposición. Palabras como 'todo', 'y', 'si' son ejemplos de tales términos. Ver Syncategorematic term de las proposiciones empíricas ". Para Kalmar "los axiomas de cualquier rama interesante de las matemáticas fueron originalmente extraídos, más o menos directamente, de los hechos empíricos, y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra práctica del pensamiento; III) la consistencia de la mayoría de nuestros sistemas formales es un hecho empírico, (y) aun cuando se ha demostrado, la aceptabilidad de los métodos metamatemáticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducción transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho empírico.". Patrick Peccatte (1998): Quasi-empiricism and anti-foundationalism
En 1950, Raymond Wilder publicó su "The Cultural Basis of Mathematics" R Wilder "The Cultural Basis of Mathematics" (Vol 1; Proceedings of the International Congress of Mathematitians (1950). pp 258-271. Reimpreso como The Evolution of Mathematical Practice desarrollando la idea que la matemática es, por lo menos en parte, un producto cultural. Consecuentemente su historia, o, más precisamente, la historia del desarrollo de las propuestas y concepciones básicas, adquieren un interés fundamental.
Un argumento principal con respecto al cuasi-empirismo es que, si bien las matemáticas y la física se consideran campos de estudio estrechamente relacionados, esto puede reflejar un sesgo cognitivo humano. Se afirma que, a pesar de la aplicación rigurosa de los métodos empíricos apropiados o la práctica matemática en cualquiera de los campos, esto sería insuficiente para refutar enfoques alternativos.
Eugene Wigner (1960)Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ," Communications on Pure and Applied Mathematics 13: señaló que esta cultura no necesita estar restringida a las matemáticas, la física o incluso a los humanos. Afirmó además que "El milagro de la idoneidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no entendemos ni merecemos. Debemos estar agradecidos por ello y esperar que siga siendo válido en futuras investigaciones. y que se extenderá, para bien o para mal, para nuestro placer, aunque quizás también para nuestro desconcierto, a amplias ramas del saber.» Wigner usó varios ejemplos para demostrar por qué el 'desconcierto' es una descripción apropiada, como mostrar cómo las matemáticas se suman al conocimiento situacional de maneras que no serían posibles de otra manera o que están tan fuera del pensamiento normal que pasan desapercibidas. La capacidad predictiva, en el sentido de describir fenómenos potenciales antes de la observación de los mismos, que puede ser sustentada por un sistema matemático, sería otro ejemplo.
Siguiendo a Wigner, Richard Hamming (1980)R. W. Hamming, 1980, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics , The American Mathematical Monthly Volume 87 Number 2 February 1980 escribió sobre las aplicaciones de las matemáticas como un tema central de este tema y sugirió que el uso exitoso a veces puede triunfar sobre la demostración, en el siguiente sentido: donde un teorema tiene una veracidad evidente a través de la aplicabilidad, luego la evidencia que muestra que la prueba del teorema es problemática resultaría más en tratar de afirmar el teorema que en intentar rehacer las aplicaciones o negar los resultados obtenidos hasta la fecha. Hamming tenía cuatro explicaciones para la 'eficacia' que vemos con las matemáticas y definitivamente vio este tema como digno de discusión y estudio.
"Vemos lo que buscamos". Por qué 'cuasi' es apropiado en referencia a esta discusión. "Seleccionamos el tipo de matemática a utilizar". Nuestro uso y modificación de las matemáticas son esencialmente situacionales y dirigidos por objetivos. "La ciencia, de hecho, responde comparativamente a pocos problemas". Lo que todavía hay que mirar es un conjunto más grande. "La evolución del hombre proporcionó el modelo". Puede haber límites atribuibles al elemento humano.
Para Willard Van Orman Quine (1960),Willard Van Orman Quine (1960), Word and Object, MIT Press, p. 22. la existencia es sólo existencia en una estructura. Esta posición es relevante para el cuasi-empirismo porque Quine cree que la misma evidencia que respalda la teorización sobre la estructura del mundo es la misma evidencia que respalda la teorización sobre estructuras matemáticas.Paul Ernest (ed.), Mathematics Education and Philosophy: An International Perspective, Routledge, 2003, p. 45.