En la física teórica, la geometrodinámica es un intento de describir el espacio-tiempo y sus fenómenos asociados completamente en términos de geometría. Técnicamente, su objetivo es unificar las fuerzas fundamentales y reformular la relatividad general como un espacio de configuración de 3-métricas, módulo difeomorfismos tridimensionales. El origen de esta idea se encuentra en los trabajos del matemático inglés William Kingdom Clifford. Esta teoría fue promovida por Jhon Wheeler en la década de los 1960, y el trabajo en ella continúa en el siglo XXI.
La geometrodinámica de Einstein El término geometrodinámica se utiliza como sinónimo de la relatividad general. Más propiamente, algunos autores emplean la frase geometrodinámica de Einstein para denotar la formulación de valor inicial de la relatividad general, introducida por Arnowitt, Deser y Misner (ADM formalism) alrededor de 1960. En esta reformulación, los espacio-tiempos se dividen en hipersuperficies espaciales de una manera bastante arbitraria, y la ecuación de campo de Einstein en el vacío se reformula como una ecuación de evolución.
Esta describe cómo, dada la geometría de una hipersuperficie inicial (el "valor inicial"), dicha geometría evoluciona a lo largo del "tiempo". Esto requiere plantear ecuaciones de restricción (o ligadura) que deben de ser satisfechas por la hipersuperficie original. Asimismo, implica cierta "elección de gauge" (choice of gauge); específicamente, decisiones sobre cómo evoluciona el sistema de coordenadas utilizado para describir la geometría de la hipersuperficie.
La geometrodinámica de Wheeler Wheeler quería reducir la física a la geometría de una manera aún más fundamental que la reformulación ADM de la relatividad general con una geometría dinámica cuya curvatura cambia con el tiempo. Su enfoque intentaba hacer realidad tres conceptos:
Masa sin masa Carga sin masa Campo sin campo
Su objetivo era sentar las bases de la gravead cuántica y unificar la gravitación con el electromagnetismo (en 1960, las interacciones fuerte y débil aún no se comprendían lo suficientemente bien como para ser incluidas). Wheeler introdujo la noción de geones (geons), que son paquetes de ondas gravitacionales confinados en una región compacta del espacio-tiempo y mantenidos unidos por la atracción gravitatoria de la propia energía de campo (gravitatorio) de la onda.
A Wheeler también le intrigaba el hecho de que la solución de masa puntual (sin rotación) de la relatividad general (el vacío de Schwarzschild) tuviera la naturaleza de un agujero de gusano (wormhole). De manera similar, en el caso de una partícula cargada, la geometría de la solución del electrovacío de Reissner-Nordström sugiere que la simetría entre las líneas de campo eléctrico (que "terminan" las cargas) y las líneas de campo magnético (que nunca terminan) podría restablecerse si las líneas de campo eléctrico en realidad no terminaran, sino que simplemente pasaran a través de un agujero de gusano hacia alguna ubicación distante o incluso hacia otra rama del universo. George Rainich había demostrado décadas antes que se puede obtener el tensor del campo electromagnético a partir de la contribución electromagnética al tensor de energía-impulso, el cual en relatividad general está directamente acoplado a la curvatura espacio-tiempo; Wheeler y Misner desarrollaron esto en la llamada teoría de campo ya unificada (already-unified field theory), la cual unifica parcialmente la gravitación y el electromagnetismo, dando lugar al concepto de carga sin carga.
En la reformulación ADM de la relatividad general, Wheeler argumentaba que la ecuación de campo de Einstein completa se puede recuperar una vez que se logra derivar la restricción del ligadura de momento, y sugirió que esto podría derivarse únicamente de consideraciones geométricas, convirtiendo a la relatividad general en algo parecido a una necesidad lógica. Específicamente, la curvatura (el campo gravitatorio) podría surgir como una especie de "promedio" de fenómenos topológicos muy complejos a escalas extremadamente pequeñas: la llamada espuma del espacio-tiempo (Spacetime foam) . Esto haría realidad la intuición geométrica sugerida por la gravedad cuántica, es decir, el campo sin campo.
Estas ideas cautivaron la imaginación de muchos físicos, a pesar de que el propio Wheeler disipó rápidamente algunas de las primeras esperanzas de su programa. En particular, los fermiones de espín 1/2 resultaron difíciles de manejar. Para abordar esto, es necesario recurrir a la Teoría del Campo Unificado Einsteiniana del sistema Einstein-Maxwell-Dirac o, de manera más general, al sistema Einstein, Yang, MILLS, Dirac, Higgs. La geometrodinámica también atrajo la atención de los filósofos, quienes se mostraron intrigados por la posibilidad de hacer realidad algunas de las ideas de Descartes y Spinoza sobre la naturaleza del espacio.
La noción moderna de la Geometrodinámica Más recientemente, Christopher Isham, Jeremy Butterfield y sus estudiantes han continuado desarrollando la geometrodinámica cuántica para tener en cuenta los trabajos recientes hacia una teoría cuántica de la gravedad y los nuevos avances en la extensísima teoría matemática de las formulaciones de valor inicial de la relatividad general. Algunos de los objetivos originales de Wheeler siguen siendo importantes para este trabajo, particularmente la esperanza de sentar una base sólida para la gravedad cuántica. El programa filosófico también continúa motivando a varios colaboradores destacados.
Las ideas topológicas en el ámbito de la gravedad se remontan a Riemann, Clifford y Weyl, y encontraron una realización más concreta en los agujeros de gusanos de Wheeler, caracterizados por el invariante de Euler-Poincaré. Estos resultan añadir "asas" (handles) a los agujeros negros. Desde el punto de vista observacional, la relatividad general (RG) de Albert Einstein está bastante bien establecida para el sistema solar y los púlsares dobles. Sin embargo, en la RG la métrica juega un doble papel: medir distancias en el espacio-tiempo y servir como potencial gravitatorio para la conexión de Christoffel. Esta dicotomía parece ser uno de los principales obstáculos para la cuantización de la gravedad. Arthur Stanley Eddington sugirió en 1924 , en su libro The Mathematical Theory of Relativity (2da edición), considera la conexión como el campo básico y la métrica meramente como un concepto derivado.
Por lo tanto, la acción primordial en cuanto a dimensiones debería construirse a partir de una acción topológica libre de métrica, como el invariante de Pontryagin de la conexión de calibre (gauge connection) correspondiente. De manera similar a lo que ocurre en la teoría de Yang-Mills, se puede lograr una cuantización modificando la definición de curvatura y las identidades de Bianchi mediante fantasmas topológicos (topological ghosts).
En este formalismo de Cartan graduado, la nilpotencia de los operadores fantasmas está a la par con el lema de Poincaré para la deriva exterior.
Utilizando un formalismo de anticampos BRST con una fijación de gauge de dualidad, se obtiene una cuantización consistente en espacios de curvatura de doble dual. La restricción impone soluciones de tipo instatón en la 'teoría de Yang-Mielke' de la gravedad con curvatura al cuadrado, propuesta en su forma afín ya por Weyl en 1919 y por Yang en 1974. Sin embargo estas soluciones exactas exhiben una "degeneración del vacío". Es necesario modificar la doble dualidad de la curvatura mediante términos de ruptura de escala para retener las ecuaciones de Einstein con una constante cosmológica inducida, de origen parcialmente topológico, como el único "fondo" macroscópico.
Dichos términos de ruptura de escala surgen de manera más natural en un formalismo de restricciones, el llamado esquema BF, en el cual la curvatura de calibre se denota por F. En el caso de la gravedad, este parte del grupo lineal especial SL (5,R) en cuatro dimensiones, generalizando así las teorías de calibre de la gravedad de Sitter. Tras aplicar la ruptura espontánea de la simetría a la teoría topológica BF correspondiente, emergen nuevamente los espacios de Einstein con una diminuta constante cosmológica relacionada con la escala de la ruptura de simetría. Aquí, la métrica de fondo se induce a través de un mecanismo de tipo Higgs. La infinitud de tal esquema topológico deformado puede convertirse en seguridad asintótica tras la cuantización del modelo de curvatura al cuadrado con ruptura espontánea de simetría.
Los conceptos de la geometrodinámica han motivado trabajos para utilizar la métrica de Kerr-Newman con el fin de crear un modelo relativista pero no cuántico para el electrón.
Referencias
Categoría:Teorías de gravitación Categoría:Física teórica