thumb|300px|El atractor de Lorenz, con valores b = 28, a = 10, c = 8/3 300px|thumb|Proyección de un atractor de Lorenz tridimensional El atractor de Lorenz es un concepto introducido por Edward Lorenz en 1963. Se trata de un sistema dinámico determinista tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre.

Para ciertos valores de los parámetros a, b, c, el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por Warwick Tucker en 2002. El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensión de Hausdorff en y la dimensión de correlación en .

El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas ruedas de agua.The Lorenzian Waterwheel

donde a es llamado el número de Prandtl y b se llama el número de Rayleigh.

, pero es usualmente , y b es variado. El sistema exhibe un comportamiento caótico para pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con se convierte en un nudo tórico llamado T(3;2).

La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la teoría del caos.

Análisis miniaturadeimagen|Simulación hecha en Julia.

Simulación en Julia using GLMakie

Base.@kwdef mutable struct Lorenz dt::Float64 = 0.01 σ::Float64 = 10 ρ::Float64 = 28 β::Float64 = 8/3 x::Float64 = 1 y::Float64 = 1 z::Float64 = 1 end

function step!(l::Lorenz) dx = l.σ * (l.y - l.x) dy = l.x * (l.ρ - l.z) - l.y dz = l.x * l.y - l.β * l.z l.x += l.dt * dx l.y += l.dt * dy l.z += l.dt * dz Point3f(l.x, l.y, l.z) end

attractor = Lorenz()

points = Point3f[] colors = Int[]

set_theme!(theme_black())

fig, ax, l = lines(points, color = colors, colormap = :inferno, transparency = true, axis = (;type = Axis3, protrusions = (0, 0, 0, 0), viewmode = :fit, limits = (-30, 30, -30, 30, 0, 50)))

record(fig, "lorenz.gif", 1:120) do frame for i in 1:50 push!(points, step!(attractor)) push!(colors, frame) end ax.azimuth[] = 1.7pi + 0.3 * sin(2pi * frame / 120) Makie.update!(l, arg1 = points, color = colors) l.colorrange = (0, frame) end

Simulación en MATLAB % Resolver para el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1] % ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales % ''a'' es un arreglo que contiene variables x, y, z % ''t'' es la variable de tiempo

sigma = 10; beta = 8/3; rho = 28; f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)]; [t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Solución de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

Simulación en Python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0 sigma = 10.0 beta = 8.0 / 3.0

def f(state, t): x, y, z = state # Desempaqueta el vector de estado return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z # Derivadas

state0 = [1.0, 1.0, 1.0] t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)

states = odeint(f, state0, t)

fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(projection='3d') ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2]) plt.show()

Simulación en R library(deSolve) library(plotly) # parámetros: # en el texto: a b c prm <- list( sigma = 10, rho = 28, beta = 8/3 ) # valores iniciales varini <- c( X = 1, Y = 1, Z = 1 )

Lorenz <- function (t, vars, prm) { with(as.list(vars), { dX <- prm$sigma*(Y - X) dY <- X*(prm$rho - Z) - Y dZ <- X*Y - prm$beta*Z return(list(c(dX, dY, dZ))) }) }

times <- seq(from = 0, to = 100, by = 0.01) # llamado del resolvedor de ecuaciones diferenciales ordinarias (ode) out <- ode(y = varini, times = times, func = Lorenz, parms = prm)

# para asignarle color a los puntos: gfill <- function (repArr, long) { rep(repArr, ceiling(long/length(repArr)))[1:long] }

dout <- as.data.frame(out)

dout$color <- gfill(rainbow(10), nrow(dout))

# Producción de la gráfica con Plotly: plot_ly( data=dout, x = ~X, y = ~Y, z = ~Z, type = 'scatter3d', mode = 'lines', opacity = 1, line = list(width = 6, color = ~color, reverscale = FALSE) )

Véase también Teoría del caos

Referencias

Bibliografía

Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004.

Enlaces externos

Lorenz Equation planetmath.org Levitated.net: computational art and design 3D VRML Lorenz Attractor (you need a VRML viewer plugin) Teoría del Caos por Pedro José Morales Correas

Categoría:Teoría del caos