mini|derecha|300px|Cubo inicial (verde) y cubo con el volumen del primero duplicado (azul)
La duplicación del cubo, también conocida como el problema de Delos, describe una cuestión geométrica que consiste en construir un cubo que tenga el doble de volumen que un cubo dado. Es uno de los tres problemas clásicos de la matemática antigua, que ya había sido formulado en el en la Antigua Grecia. Sería en el cuando se demostró que el problema no se puede resolver utilizando exclusivamente regla y compás.
Planteamiento general Un cubo inicial con una arista de longitud (denominado cubo unidad) tiene el volumen Si se define un segundo cubo con longitud de arista con el doble de volumen, entonces La nueva longitud de arista es la raíz cúbica de , es decir, . Este resultado se puede determinar usando el cálculo infinitesimal, pero no se puede construir en un número finito de pasos a partir de un segmento de longitud dada usando exclusivamente un compás y una regla sin marcar.
El problema de duplicar el cubo exclusivamente con las herramientas que Euclides usó en sus Elementos, es decir, con regla y compás se puede traducir al lenguaje algebraico, lo que permite demostrar la imposibilidad de su construcción, tal y como probó por primera vez el matemático francés Pierre Wantzel en 1837. Sin embargo, es muy probable que Carl Friedrich Gauss ya conociera la evidencia de este hecho, aunque nunca dejó constancia del mismo.
Existen problemas idénticos cuando el volumen del cubo se incrementa por ejemplo en 3, 4, 5, 6 o 7 veces el volumen original. Por otro lado, la tarea de aumentar 8 veces el volumen de un cubo dado, no sería un problema, porque la raíz cúbica de 8 puede extraerse fácilmente, y la duplicación resultante de la longitud de la arista se obtiene directamente.
Si la restricción se debilita y se permite una ayuda adicional, como introducir marcas en una regla o curvas especiales, entonces es posible la construcción de un cubo con el doble de volumen. Un cierto número de estas posibles soluciones ya se conocían en la antigüedad clásica.
Historia en el mundo antiguo mini|300px|Relación entre el volumen y la longitud de la arista de un cubo. El cubo inicial es el cubo unidad, con longitud de arista
La fuente antigua más importante sobre la duplicación del cubo es el comentario de Eutocio sobre el texto de Arquímedes "Acerca de la esfera y el cilindro" ("Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου"), en el que se recogen varios enfoques de antiguos matemáticos.Siehe als englische Übersetzung mit Kommentar: Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, hier S. 272-306. Entre otras cosas, el problema se cita literalmente en una carta del erudito Eratóstenes (alrededor del 275-194 a.C.) a un rey de nombre Ptolomeo (probablemente, Ptolomeo III o Ptolomeo IV) (se ha demostrado que la carta es una reproducción auténtica de la carta original) en la que el científico menciona al gobernante la cuestión de doblar el cubo.Zur Echtheit des bei Eutokios überlieferten Brieftextes W. R. Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston 1986, S. 17-24. Zur Frage, welcher König Ptolemaios gemeint ist, siehe etwa W. R. Knorr: Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry. Boston 1989, S. 144 f. Como la evidencia más antigua de este problema matemático, Eratóstenes cita a "uno de los viejos poetas de la tragedia" ("τῶν ἀρχαίων τρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν"), en cuya obra el rey mítico Minos desea aumentar el tamaño de la sepultura de su hijo Glauco, y ordena al constructor duplicar el volumen pero manteniendo la forma de cubo original.Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 294 Se sabe que los tres autores atenienses más importantes de tragedias del , Esquilo, Sófocles y Eurípides, trataron la leyenda de Minos y Glauco en alguna de sus obras; aunque es posible que la cita provenga de una tragedia de un autor completamente diferente.Richard Kannicht, Bruno Snell: Tragicorum Graecorum Fragmenta. Band 2, 2. Auflage, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2007, S. 62, Fragment Adespota F 166; zur Behandlung des Glaukos-Stoffes bei den Tragödiendichtern siehe (VII,1; 1415-1416; Glaukos 23; Georg Weicker)
La designación alternativa "Problema de Delos" se remonta a un episodio que Eratóstenes también cita en su carta, pero que también es descrito por varios otros autores antiguos (incluidos Plutarco y Teón de Esmirna) y que, desde un punto de vista erudito, bien podría estar basado en un hecho histórico real: durante una grave epidemia, los residentes de la isla de Delos pidieron consejo al oráculo sobre lo que podían hacer para mejorar su situación. El oráculo les había ordenado que duplicaran el tamaño del altar de forma cúbica existente en el Templo de Apolo, es decir, su volumen. Los arquitectos de Delos, sin embargo, no sabían cómo resolver la cuestión, por lo que pidieron consejo a Platón (428/427-348/347 a.C.). El problema llegó a oídos de Arquitas, Eudoxo de Cnido y Menecmo, cada uno de los cuales abrió diferentes enfoques para solucionarlo. Sin embargo, según Plutarco, Platón criticó sus enfoques porque, según él, al utilizar métodos mecánicos destruían la principal "bondad" de la geometría, su elegancia.Eine ausführliche Analyse des antiken Quellenmaterials zur Delier-Anekdote und den möglichen historischen Grundlagen bietet Claas Lattmann: Mathematische Modellierung bei Platon zwischen Thales und Euklid (= Science, Technology, and Medicine in Ancient Cultures. Band 9). De Gruyter, Berlin/Boston 2019, S. 187-206; zu den drei mechanischen Ansätzen und Platons Kritik ebd., S. 220-241. Curiosamente, en el comentario de Arquímedes de Eutocio, Platón también atribuye su propia solución mecánica al problema de Delos (véase la sección correspondiente). A menos que se trate de un Platón diferente al famoso filósofo, de acuerdo con la opinión predominante de los investigadores, es probable que sea una atribución incorrecta.Reviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 273, Anm. 17.
Problemas similares al de la construcción de altares (pero con el problema de doblar un cuadrado en lugar de un cubo) figuran en los textos védicos de la India y dieron lugar a discusiones matemáticas (denominadas Śulbasūtras).Zum Beispiel Joseph: The crest of the peacock. Princeton UP, 2001, S. 330. En el caso del cuadrado, el problema de su duplicación se puede resolver mediante el teorema de Pitágoras.
Soluciones antiguas con herramientas adicionales mini|300px|Enfoque de Hipócrates de Quíos: una media proporcional aplicada dos veces entre los segmentos a y b, permite determinar cuando
Hipócrates de Quíos (segunda mitad del ) fue el primero en mostrar el enfoque clave para dar una solución teórica al problema. Estableció que: El problema de duplicar el cubo es equivalente al de determinar dos medias proporcionales de dos cantidades dadas.Rey Pastor. Babini: "Historia de la matemática" (2006) Esto significa que para una medida dada , se deben hallar otras dos medidas e , de modo que
Esto implica que .
Platón (428/427-348/347 a.C.) fue nombrado por Eutocio como el primero en idear un mecanismo para resolver la duplicación del cubo. Como ya se mencionó anteriormente, esta solución posiblemente no corresponda al filósofo, y debería ser obra de otro autor del mismo nombre.
Eudoxo (397/390-345/338 a.C.) encontró una solución, según se informa, al construir las dos medias proporcionales con la ayuda de curvas desconocidas y sus intersecciones.François Lasserre (Hrsg.): Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, Berlin 1966, S. 20-22, 163-166.
Arquitas de Tarento (fallecido alrededor del 355-350 a.C.) fue el primero en resolver el teorema de Hipócrates antes mencionado con la ayuda de la curva que lleva su nombre, descrita en la sección curva de Arquitas.
Menecmo (alrededor de 380-320 a.C.) encontró dos soluciones: una en la que una parábola se cruza con una hipérbola, y una segunda, descrita en detalle en la sección dedicada a las curvas especiales, como la intersección de dos parábolas.
Filón de Bizancio (alrededor de 280-220 a.C.), para resolver el problema se valió de una sencilla construcción que lleva su nombre, la denominada recta de Filón.
Eratóstenes (alrededor de 278-194 a. C.) describe en su carta al rey Tolomeo, después de su introducción a la historia del problema de Delos, su propio método mecánicoReviel Netz: The works of Archimedes. Translated into English, together with Eutocius’ commentaries, with commentary, and critical edition of the diagrams. Band 1: The Two Books On the Sphere and the Cylinder. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-66160-9, S. 295 utilizando un aparato que llamó el mesolabio.
Diocles (alrededor de 240-180 a.C.) usó la cisoide que lleva su nombre para resolver el problema.
Prueba de la irresolubilidad mediante regla y compás Historia de la demostración Los matemáticos de la antigüedad no solo usaban la regla y el compás para resolver problemas. La suposición de que existía tal restricción metodológica ha resultado ser un mito moderno.A. D. Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Band B 3, 1936, S. 287-369 (auch speziell zum Problem der Würfelverdopplung). La demostración de que la tarea de duplicar el cubo no se puede resolver usando solo la regla y el compás, data de 1837 y se debe al matemático Pierre Wantzel. Su demostración se basó en las siguientes consideraciones algebraicas:Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result, Historia Mathematica 36, 2009, S. 378-379.
1. En la primera parte de la demostración, sostiene que si un problema geométrico se puede resolver con una regla y un compás, “la incógnita del problema se puede obtener resolviendo una serie de ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes son funciones racionales de los parámetros del problema y de las raíces de las ecuaciones anteriores”.
La "incógnita del problema" en este caso es obtener según las restricciones dadas.
2. Luego demostró que cada número algebraico , es la solución de la última ecuación del conjunto de polinomios de segundo grado sucesivos (que representan una serie de operaciones consecutivas con regla y compás)
cuyos coeficientes forman parte de adjunciones sucesivas en el cuerpo . En consecuencia, siempre es la solución de un polinomio de grado con coeficientes en . , es decir, permite resolver la ecuación con siendo los parámetros dados del problema.
3. Wantzel sabía que todo número algebraico es la solución de un polinomio cuyo grado es una potencia de dos si se elige que esta sea lo suficientemente grande. Por lo tanto, su principal resultado fue demostrar que si el número de ecuaciones requeridas se reduce al mínimo, el polinomio resultante es irreducible sobre .
La imposibilidad de la construcción se sigue ahora como corolario de las tres proposiciones anteriores: si, comenzando con el cubo unidad, fuera posible la construcción de duplicar el cubo con regla y compás, entonces tendría que ser el cero de un polinomio irreducible sobre , con una potencia de dos como grado. El polinomio es irreducible sobre , pero tiene grado 3. Esto es una contradicción, lo que implica la irresolubilidad del problema.