En álgebra, un semianillo es una estructura algebraica más general que un anillo.
Definición Semianillo Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+,·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:
(A,+) es un semigrupo conmutativo; es decir: (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad) a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)
(A,·) es un semigrupo: (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad)
La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir: a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda) (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha)
Si la operación "·" es conmutativa el semianillo se llama semianillo conmutativo o abeliano.
Semianillo unitario Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+,·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:
(A,+) es un semigrupo conmutativo; es decir: (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad) a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)
(A,·) es un monoide con 1 como elemento neutro; es decir: (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad) a · 1 = 1 · a = a para todo a en A (elemento neutro)
La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir: a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda) (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha)
Si la operación "·" es conmutativa el semianillo unitario se llama semianillo unitario conmutativo o abeliano.
Véase también Anillo (matemática) Anillo de conjuntos
Referencias
François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) , Wiley, 1992, ISBN 0 471 93609 X Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8
Categoría:Álgebra abstracta Categoría:Estructuras algebraicas