En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 .
Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,
1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,
y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):
Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):
Entonces la suma
es siempre igual a N2.
Ejemplo Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son: A1 = 2, A2 = 3, y A3 = 5; B1 = 6, B2 = 4, y B3 = 1.
La suma es
la cual indica que es igual a 32.
Referencias
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Enlaces externos
Proizvolov's identity en cut-the-knot.org
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