La economía matemática es la disciplina dedicada a la representación, análisis y formalización de la ciencia económica mediante estructuras matemáticas. Permite la demostración de la consistencia teórica, la deducción exhaustiva de sus implicaciones y el análisis de sus propiedades estructurales y dinámicas. De manera recíproca, impulsa el desarrollo de métodos matemáticos adecuados para la formulación y resolución de problemas económicos.
Dentro del dominio de la Economía matemática, existe un subcampo centrado en los métodos matemáticos avanzados para economistas, a menudo referido en la academia como "Matemáticas para la ciencia económica". Este ámbito se imparte a través de cátedras y cursos universitarios que trascienden la geometría simple y el álgebra elemental, marcando el umbral de su enseñanza especializada. La instrucción abarca el dominio del cálculo diferencial integral, las ecuaciones diferenciales, el álgebra de matrices, la programación matemática y diversos métodos computacionales, proveyendo así las herramientas analíticas para la modelización y el estudio riguroso de los fenómenos económicos.
Bajo una orientación aplicada, destaca el enfoque de la "economía cuantitativa", que integra los modelos formales con el análisis de datos. En este ámbito, referencias como Introduction to Quantitative Economics de Jesse M. Shapiro actúan como un nexo entre la estructura matemática y la práctica empírica. Este enfoque se centra en el empleo de modelos canónicos para interpretar evidencia, complementando el estudio del cálculo y el álgebra con el uso de métodos computacionales dirigidos a la investigación económica.
Se ha comentado que las matemáticas dan la posibilidad a los economistas de formar proposiciones significativas y comprobables acerca de fenómenos económicos complejos y de gran alcance, los cuales serían difíciles de explicar de una manera menos formal. Además, el lenguaje de las matemáticas permite a los economistas generar argumentos específicos y positivos acerca de debates que serían irresolubles sin las matemáticas.Varian, Hal (1997). «What Use Is Economic Theory?» En A. D'Autume y J. Cartelier, ed., Is Economics Becoming a Hard Science?, Edward Elgar. Pre-publication PDF. Consultado el 1 de abril de 2008. Gran parte de la teoría económica está representada en términos de modelos matemáticos, que involucran un conjunto de relaciones matemáticas simples y estilizadas para dar claridad a suposiciones e implicaciones.• As in Handbook of Mathematical Economics, 1st-page chapter links: Arrow, Kenneth J. y Michael D. Intriligator, ed., (1981), v. 1 _____ (1982). v. 2 _____ (1986). v. 3 Hildenbrand, Werner, and Hugo Sonnenschein, ed. (1991). v. 4. • Debreu, Gérard (1983). Mathematical Economics: Twenty Papers of Gérard Debreu, Contents. • Glaister, Stephen (1984). Mathematical Methods for Economists, 3rd ed., Blackwell. Contents. • Takayama, Akira (1985). Mathematical Economics, 2nd ed. Cambridge. Description and Contents. • Michael Carter (2001). Foundations of Mathematical Economics, MIT Press. Description and Contents. Las aplicaciones de las matemáticas en la economía incluyen:
Problemas de optimización con el equilibrio como meta, ya sea de un negocio, una empresa, una familia o para un cuerpo encargado de la generación de políticas económicas. Análisis estático (o de equilibrio) en el que la unidad económica (como una familia o empresa o ciudad) o sistema (como un mercado) es modelado como una pieza estática equilibrada. Comparación estática, como el cambio de un equilibrio a otro, inducido por el cambio en uno o más factores. Análisis dinámico, seguimiento de cambios en un sistema económico a través del tiempo, por ejemplo el crecimiento económico.
La creación de modelos económicos formales comenzó en el con el uso del cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la maximización de la utilidad, una aplicación económica temprana de la optimización matemática. La economía se convirtió en una disciplina con más contenido matemático en la primera mitad del . La introducción de nuevas técnicas generalizadas en el periodo de la Segunda Guerra Mundial, como la teoría de juegos, ampliaron el uso de las formulaciones matemáticas en la economía.• Debreu, Gérard ( 2008). "mathematical economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract. Republished with revisions from 1986, "Theoretic Models: Mathematical Form and Economic Content", Econometrica, 54(6), pp. 1259-1270. • von Neumann, John, and Oskar Morgenstern (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press. Esta rápida sistematización de la economía alarmó a los críticos de la disciplina, así como a algunos economistas relevantes, tales como John Maynard Keynes, Robert Heilbroner, Friedrich Hayek, quienes han criticado el extenso uso de los modelos matemáticos para el comportamiento humano, argumentado que algunas decisiones no pueden representarse satisfactoriamente con las matemáticas.
Historia
El uso de las matemáticas en el análisis económico y social data del . En ese tiempo, principalmente en universidades alemanas, emergió un estilo de enseñanza, el cual trataba específicamente la presentación detallada de información y tenía una gran relación con la administración pública. Gottfried Achenwall participó en esta coyuntura y acuñó el término de «estadística». A su vez, un pequeño grupo de profesores de Inglaterra establecieron un método de "razonamiento a través de números sobre los aspectos relacionados al gobierno" y se refirieron a esta práctica como un Aritmética Política. William Petty escribió acerca de problemas que serían después discutidos por los economistas, como la aplicación de impuestos, la velocidad del dinero y el ingreso inicial, sin embargo, mientras su análisis era numérico, rechazaba el uso de matemáticas abstractas. El uso de la información numérica detallada de Petty (junto con John Graunt) influirían en los estadistas y economistas por un periodo, aun cuando el trabajo de Petty fue ignorado por los eruditos ingleses de su época.Schumpeter (1954) pp. 212-215.
La matematización de la economía empezó en la época temprana del . Una gran parte del análisis económico de ese tiempo era lo que después se conocería como economía clásica. Los temas eran preparados y discutidos a través de métodos algebraicos, sin embargo el cálculo no era usado. Antes de que se presentara el trabajo The Isolated Satate de Johann Heinrich von Thünen en 1826, los economistas no habían generado modelos explícitos y abstractos para definir el comportamiento y aplicar a este herramientas matemáticas. El modelo de Thünen del uso de los terrenos de cultivo representa el primer ejemplo del análisis marginal. El trabajo de Thünen era en su mayoría teórico, sin embargo, usó información empírica para apoyar sus generalidades. En comparación con los contemporáneos, Thünen generó modelos y herramientas económicas, en lugar de aplicar las herramientas existentes a nuevos problemas.Schumpeter (1954) p. 465-468
Mientras tanto, una nueva corte de eruditos que conocía los métodos matemáticos de las ciencias físicas se acercaron a la economía, aplicando y defendiendo aquellos métodos a su disciplina,Philip Mirowski, 1991. "The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economics Analysis", Journal of Economic Perspectives, 5(1) pp. y es descrito hoy en día como el movimiento de la geometría a la mecánica.Weintraub, E. Roy (2008). "mathematics and economics", The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Edition. Abstract. Este incluyó a W.S. Jevons quien presentó un trabajo sobre "una teoría matemática general de la política económica" en 1862, donde proveyó un esquema para el uso de la teoría de la utilidad marginal en la política económica.Jevons, W. S. (1866). "Brief Account of a General Mathematical Theory of Political Economy", Journal of the Royal Statistical Society, XXIX (June) pp. 282-87. Read in Section F of the British Association, 1862. En 1871, Jevons publicó Los principios de la economía política, declarando que este tema como ciencia "debe ser simplemente matemático ya que éste trabaja con cantidades." Jevons esperaba que solo la recolección de las estadísticas de precios y cantidades permitirían a la disciplina convertirse en una ciencia exacta. Otros siguieron expandiendo la representación matemática de problemas económicos.
Marginalistas y los inicios de la economía neoclásica
thumb|275 px|Cantidades de equilibrio como solución de las dos funciones en el duopolio de Cournot. Cada función es expresada como una ecuación lineal dependiente de la cantidad demandada.
Augustin Cournot y Léon Walras crearon las herramientas de la disciplina axiomáticamente alrededor de la utilidad, argumentando que los individuos buscan maximizar su utilidad a través de las elecciones en una manera que podía ser descrita matemáticamente.While the concept of cardinality has fallen out of favor in neoclassical economics, the differences between cardinal utility and ordinal utility are minor for most applications. En ese tiempo, era pensado que la utilidad era cuantificable, en unidades conocidas como útiles. Cournot, Walras y Francis Ysidro Edgeworth son considerados los precursores de la economía matemática moderna.
Augustin Cournot
Cournot, un profesor de matemáticas, desarrolló, en 1838, un tratamiento matemático para los duopolios -una condición de mercado que se define por la competición entre dos empresas vendedoras. Este tratamiento de competición, publicado por primera vez en Researches into the Mathematical Principles of Wealth (Investigaciones en los principios matemáticos de la riqueza),Augustin Cournot (1838, tr. 1897) Researches into the Mathematical Principles of Wealth. Enlaces a description y chapters. se conoce como el duopolio de Cournot. Se asume que ambos vendedores tienen una igualdad en el acceso al mercado y que pueden producir productos sin costo alguno. Después, se asume que ambos producen productos homogéneos. Cada vendedor cambiaría su producción basándose en la producción del otro y el precio de mercado sería determinado por la cantidad total de productos ofertados. La utilidad de cada empresa sería determinada a través de multiplicar la producción de cada empresa y el precio de mercado por unidad. Diferenciando la función de utilidad con respecto a la cantidad ofrecida de cada firma, arroja un sistema de ecuaciones lineales, la solución simultánea de este nos daría una cantidad de equilibrio, un precio y una utilidad. Las contribuciones de Cournot a la matematización de la economía serían abandonadas por décadas, sin embargo al final estas influyeron a una gran parte de los marginalistas. Los modelos de Cournot acerca del duopolio y oligopolio también representan una de las primeras formulaciones de los juegos no cooperativos. Hoy en día, la solución puede ser dada como un equilibrio de Nash, sin embargo el trabajo de Cournot procedió a la teoría de juegos moderna por más de cien años.
Léon Walras