En matemáticas, y especialmente en topología general, la topología euclidiana o topología euclídea es un ejemplo de topología dado por el conjunto de los números reales, denotados mediante R. Dado el conjunto R una topología significa decir que los subconjuntos de R son «abiertos», y hacerlo de tal manera que los siguientes axiomas se cumplan:
La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. El conjunto R y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.
Construcción
Se requiere que el conjunto R y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, así que se definirá R y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Dados dos números reales, por ejemplo x e y, con se define una familia incontable infinita de conjuntos abiertos denotados mediante Sx,y como sigue:
Junto con el conjunto R y el conjunto vacío ∅, los conjuntos Sx,y con son usados como base para la topología euclidiana. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana son dados por el conjunto R, el conjunto vacío ∅ y las uniones e intersecciones finitas de varios conjuntos Sx,y para los diferentes pares (x,y).
Propiedades
La línea real, con su topología, es un espacio T5. Dados dos subconjuntos, digamos A y B, de R con , donde A denota la clausura de A, etc., existen conjuntos abiertos SA y SB con y tales que
Referencias
Categoría:Espacios topológicos Euclidiana, topología