miniaturadeimagen|La suma x + a en la recta numérica. Todos los números mayores que x y menores que x + a se encuentran dentro de ese intervalo abierto. Un intervalo (del latín intervallum) es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto que satisface que, para cual quiera y , si , entonces .Barbolla García R.M. y otros. Introducción al análisis real Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7 Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1
Proposición Un intervalo es un subconjunto de que verifica la siguiente propiedad:
Notación Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchete y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalos abiertos derecha|240pxDados dos números reales y , se define el conjunto llamado intervalo abierto de extremo inferior y extremo superior .
En palabras, el intervalo abierto es el conjunto de números reales comprendidos entre y : este conjunto no contiene a ninguno de los extremos y .César A. TREJO: El concepto de número. Publicación de OEA, Washington D.C. (1973). Edición revisada y corregida Es un intervalo de longitud finita.
Otras notaciones
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de , un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto es igual a su interior, su frontera es el conjunto y su clausura es el intervalo cerrado . Su exterior son las semirrectas y .Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0 No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.Rubiano: Topología general, Bogotá
Intervalos cerrados Sí incluye los extremos. Que se indica: En notación conjuntista:
Intervalos semiabiertos Incluye únicamente uno de los extremos. derecha|240px Con la notación o bien indicamos.
En notación conjuntista:
Y con la notación o bien ,
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud . Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.Mansfield, M.J. (1974). Introducción a la topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A. Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es , llamado punto medio, donde los extremos son y con . En el caso , no existe punto medio y el intervalo abierto es .Spivak: Calculus, tomo I http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf
Intervalos con infinito Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.
Incluye un extremo e infinito por la derecha. derecha|240px Con la notación o indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo: derecha|240px Y con la notación o ,
Incluye un extremo e infinito por la izquierda. derecha|240px Con la notación o indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo: derecha|240px Y con la notación o ,
En notación conjuntista:
Para todo valor real: derecha|240px Y con la notación o ,
En notación conjuntista:
Familia de intervalos es una familia de intervalos abiertos.
es una familia de intervalos cerrados.
Operaciones con intervalos En notación conjuntista: supongamos el conjunto :
Esto se lee: es el conjunto de todos los números reales tal que es menor que cuatro.
Y el conjunto :
es el conjunto de todos los números reales , tal que es menor que .
derecha|240px El conjunto unión de y sería:
Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos si y solo si está por lo menos en uno de ellos.
derecha|240px El conjunto intersección de y es el vacío:Conjunto vacío
porque y no tienen puntos en común.
Se nota de la siguiente manera:
Dados los conjuntos A y C:
derecha|240px El conjunto unión de y es:
El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.
derecha|240px El conjunto intersección de y es:
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.
Entorno
Partiendo del concepto de intervalo, podemos definir el entorno de un punto como el espacio que rodea a ese punto.
Entorno simétrico Un entorno simétrico o entorno de centro y radio se representa: derecha|240px
Con la notación indicamos
Entorno reducido Un entorno reducido de centro y radio se representa: derecha|240px
Con la notación indicamos
Un entorno reducido de un punto es un entorno de , menos . Por ejemplo, el intervalo es un entorno de en la recta real, entonces el conjunto es un entorno reducido de de radio 1.
Nota Si , los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío. , y denotan también al conjunto vacío. denota al conjunto unitario , también llamado intervalo degenerado. Existen dos notaciones comunes para denotar intervalos, una en la que los intervalos abiertos se escriben como , y otra en la que los intervalos abiertos se escriben como . La notación se utiliza en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra. Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito () para indicar que no hay cota.
Ejemplos gráficos
Clasificación Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con , y perteneciente al intervalo:
Notación Intervalo Longitud Descripción Intervalo cerrado de longitud finita. o Intervalo semiabierto (cerrado en , abierto en ). o Intervalo semiabierto (abierto en , cerrado en ). o Intervalo abierto. o Intervalo semiabierto. o Intervalo semiabierto. o Intervalo semiabierto. o Intervalo semiabierto. o Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de . Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado). sin elemento Conjunto vacío.Hasser. La Salle. Sullivan: Análisis matemático I.
Caracterización
Intervalo cerrado El número real está en si sólo si . Los puntos y son elementos del intervalo cerrado ; es el ínfimo y el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos y con . El intervalo abierto es el interior del intervalo cerrado de extremos y ; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta .Mansfield, M.J- (1974). Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A
Propiedades La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía). Los conjuntos conexos de son exactamente los intervalos.Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2 Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos. La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio. Según la topología usual de , un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.Mansfield, M.J (1974) Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S. A.
Aritmética de intervalos Sean y con , y .
Entonces: . Lo que justifica que
.
. (No confundir con la diferencia )
Si se toman , , y positivos no nulos, e .
Generalización Un intervalo -dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de intervalos: , uno en cada eje de coordenadas.
thumb|300px|right|Entorno de centro y radio .
En términos topológicos, en el espacio métrico usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro y radio , al conjunto de puntos cuya distancia a es menor que .
Véase también Desigualdad Valor absoluto Intervalo unidad Partición de un intervalo Medida de Lebesgue
Referencias y notas
Categoría:Análisis matemático Categoría:Topología