En matemáticas, las funciones trigonométricas inversas (ocasionalmente también llamadas funciones arco, funciones antitrigonométricas o funciones ciclométricas) son las funciones inversas de las funciones trigonométricas (con dominios adecuadamente restringidos). Específicamente, son las inversas de las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de las relaciones trigonométricas angulares. Las funciones trigonométricas inversas se utilizan ampliamente en ingeniería, navegación, física y geometría.

Notación Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La convención más común es nombrar funciones trigonométricas inversas usando un prefijo de arco: , , , etc, convención que se usa en este artículo. Esta notación surge de las siguientes relaciones geométricas: cuando se mide en radianes, un ángulo de θ radianes corresponderá a un arco cuya longitud es rθ, donde r es el radio de la circunferencia. Así, en la circunferencia goniométrica (de radio igual a 1), "el arco cuyo coseno es x" es el mismo que "el ángulo cuyo coseno es x", porque la longitud del arco de circunferencia en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes. En los lenguajes de programación de computadoras, las funciones trigonométricas inversas generalmente se denominan con las formas abreviadas Asin, Acos y Atan (en Visual Basic);Microsoft VB asin, acos y atan (en C++);Cplusplus sintaxis o ArcSin, ArcCos y ArcTan (en Pascal).Free Pascal

Las notaciones , , , etc., tal como las introdujo John Herschel en 1813, también se utilizan a menudo en fuentes en inglés, y son coherentes con la notación de las funciones inversas. Esto puede parecer que entra en conflicto con la semántica común para expresiones como , que se refieren a una potencia numérica en lugar de a la composición de funciones, y por lo tanto, puede generar una confusión entre el inverso multiplicativo o recíproco y la función inversa. La confusión se mitiga un poco por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, = . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso por su ambigüedad. Otra convención utilizada por algunos autores es emplear una primera letra mayúscula, junto con un superíndice : , , , etc. Esto potencialmente evita la confusión con el inverso multiplicativo, que debería estar representado por , , etc.

Desde 2009, el estándar ISO 80000-2 ha especificado que se use únicamente el prefijo "arco" para denominar a las funciones trigonométricos inversas.

La influencia de los lenguajes de programación ha hecho que cada vez sea más frecuente en la bibliografía en español encontrarse con que las funciones seno y arco seno, tradicionalmente transcritas en los textos matemáticos como sen y arco sen, aparezcan escritas como sin y arc sin. Un ejemplo notable es la propia Wikipedia en español, donde la sintaxis del código LaTex utilizado para escribir fórmulas matemáticas, emplea las formas <math>\sin (x)</math> (con el resultado de ); y <math>\arcsin (x)</math> (con el resultado de ).

Propiedades básicas

Valores principales Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas son inyectivas, deben estar restringidas para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de las funciones inversas son los subconjuntos propios de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, usando el término función en el sentido de las funciones multivaluadas, al igual que la función raíz cuadrada podría definirse a partir de , la función se define de modo que . Para un número real dado , con , hay múltiples (de hecho, numerables infinitos) números tales que ; por ejemplo, , pero también , , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal. Con esta restricción, para cada en el dominio, la expresión producirá un valor único, llamado su valor principal. Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.

Las principales inversas se enumeran en la siguiente tabla.

NombreNotación usualDefiniciónDominio de con resultado realRango de valores principales usuales (radianes)Rango de valores principales usuales (grados) arco seno −1 ≤ x ≤ 1 − ≤ y ≤ −90° ≤ y ≤ 90° arco coseno −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180° arco tangente todos los números reales − < y < −90° < y < 90° arco cotangente todos los números reales 0 < y < π 0° < y < 180° arco secante x ≥ 1 o x ≤ -1 0 ≤ y < o < y ≤ π 0° ≤ y < 90° o 90° < y ≤ 180° arco cosecante x ≤ −1 o 1 ≤ x − ≤ y < 0 o 0 < y ≤ −90° ≤ y < 0° o 0° < y ≤ 90° (Nota: algunos autores definen el rango del arco secante como (0 ≤ y < o π ≤ y < ), porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, utilizando este rango, , mientras que con el rango (0 ≤ y < o < y ≤ π), se tendría que escribir , ya que la tangente no es negativa en 0 ≤ y < , pero tampoco es positiva en < y ≤ π. Por una razón similar, los mismos autores definen el rango del arco cosecante como −π < y ≤ − o 0 < y ≤ .)

Si se permite que x sea un número complejo, entonces el rango de y se aplica solo a su parte real.

Soluciones generales

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de 2π:

El seno y la cosecante comienzan su período en 2πk - (donde k es un número entero), terminan en 2πk + y luego se invierten sobre 2πk + a 2πk + . El coseno y la secante comienzan su período en 2πk, lo terminan en 2πk + π, y luego se invierten sobre 2πk + π a 2πk + 2π. La tangente comienza su período en 2πk - , lo termina en 2πk + , y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2πk + a 2πk + . La cotangente comienza su período en 2πk, lo termina en 2πk + π, y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2πk + π a 2πk + 2π.

Esta periodicidad se refleja en los inversos generales, donde k es un número entero.

La siguiente tabla muestra cómo las funciones trigonométricas inversas pueden usarse para resolver las igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar, donde se asume que , , y se encuentran dentro del rango apropiado.

El símbolo es la igualdad lógica. La expresión "LI LD" indica que: (a) El lado izquierdo de la expresión (es decir, LI) y el lado derecho (es decir, LD) son verdaderos, o bien que (b) El lado izquierdo y el lado derecho son falsos. existe una opción (c) (por ejemplo, es posible que la declaración LI sea verdadera y también simultáneamente que la declaración LD sea falsa), porque de lo contrario no se debería haber escrito que "LI LD" (consúltese esta nota al piePara aclarar el concepto, supóngase que está escrito que "LI LD" donde LI (que abrevia "Lado de la izquierda") y LD son declaraciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si y son números dados y fijos y si se escribe lo siguiente: para algunos entonces LI es la declaración "". Dependiendo de los valores específicos que tengan y , esta declaración LI puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, LI es verdadero si y (porque en este caso ) pero LI es falso si y (porque en este caso que no es igual a ); de manera más general, LI es falso si y . De manera similar, LD es la declaración " para algunos ". La declaración LD también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la declaración LD es verdadera o falsa depende de los valores específicos que tengan y ). El símbolo de igualdad lógica significa que (a) si la declaración LI es verdadera, entonces la declaración LD también es verdadera, y además (b) si la declaración LI es falsa, entonces la declaración LD también es falsa. De manera similar, significa que (c) si la declaración LD es verdadera, entonces la declaración LI también es verdadera, y además (d) si la declaración LD es falsa, entonces la declaración LI también es falsa. para ver un ejemplo ilustrando este concepto).

+ Condición Solución donde... para algún o para algún para algún o para algún para algún o para algún para algún o para algún para algún para algún

Valores iguales de las funciones

En la siguiente tabla, se muestra cómo dos ángulos y deben estar relacionados, si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o tienen el signo cambiado. + Igualdad Solución donde... También una solución para para algún para algún para algún para algún para algún para algún para algún

Relaciones entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas

Se tabulan a continuación las funciones trigonométricas de las funciones trigonométricas inversas. Una forma rápida de deducirlas es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud x, aplicando a continuación el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas. Las deducciones puramente algebraicas son más largas. Vale la pena señalar que para arco secante y arco cosecante, el diagrama asume que x es positivo, y por lo tanto, el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signo (sgn).

Diagrama

Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas

Ángulos complementarios:

Argumentos negativos:

Argumentos recíprocos:

Identidades útiles si solo se tiene un fragmento de una tabla de seno:

Siempre que se use aquí la raíz cuadrada de un número complejo, se elige la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado es real negativo).

Un formulario útil que se deriva directamente de la tabla anterior es

.

Se obtiene reconociendo que .

De la fórmula del ángulo mitad, , se obtiene:

Fórmula de la suma de arco tangentes

Se deduce de la fórmula de la tangente de la suma haciendo que

En cálculo

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Las derivadas para valores complejos de z son los siguientes:

Solo para valores reales de x:

Una derivación de ejemplo: si , se obtiene:

Expresión como integrales definidas Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida:

Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son impropias, pero aun así están bien definidas.

Series infinitas Similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular usando series de potencias. Para el arco seno, la serie se puede deducir expandiendo su derivada, , como una serie binomial, e integrando término por término (usando la definición integral como anteriormente). De manera similar, la serie para el arco tangente puede derivarse expandiendo su derivada en una serie geométrica y aplicando la definición integral anterior (véase la serie de Leibniz).

Las series para las otras funciones trigonométricas inversas se pueden dar en términos de estas de acuerdo con las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo, , , etc. Otra serie viene dada por:

Leonhard Euler encontró una serie para el arco tangente que converge más rápidamente que su serie de Taylor:

(El término en la suma para n = 0 es el producto vacío, que vale 1).

Alternativamente, esto se puede expresar como

Otra serie para la función arco tangente viene dada por

donde es la unidad imaginaria.

Fracciones continuas para el arco tangente Dos alternativas a la serie de potencias para el arco tangente son estas fracciones continuas: