En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por y aplicada por primera vez por para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.
Definición
Función de Densidad Si es una variable aleatoria continua, se dice que tiene una distribución Weibull con parámetros y escribimos si su función de densidad esPapoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la distribución.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:
Un valor indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo. Cuando , la tasa de fallos es constante en el tiempo. Un valor indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Función de Distribución La función de distribución acumulada de una variable aleatoria es
para .
Propiedades Si entonces
La tasa de fallos (hazard) es
El -ésimo momento de es
La función generadora de momentos de está dada por
La media de la variable aleatoria es
La varianza de la variable aleatoria es
La moda de la variable aleatoria para es
La asimetría y curtosis de están dadas por
y
donde . Distribuciones Relacionadas
La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura. Tiene función de densidad
para , donde es el parámetro de forma, es el parámetro de escala y , el de localización. Coincide con la habitual cuando .
Si entonces . Si entonces , es decir tiene una distribución de Rayleigh.
La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando la densidad tiende a cuando se aproxima a y la densidad tiene forma de J. Cuando la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando la densidad se anula en , tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en .
La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme estándar, si entonces . Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.
La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.
Aplicaciones La distribución de Weibull se utiliza en: Análisis de la supervivencia En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes
Teoría de valores extremos Meteorología Para modelar la distribución de la velocidad del viento (frecuencia con la que se dan diferentes velocidades de viento) En telecomunicaciones En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida En energía solar, para modelar la distribución de irradiación solar anual En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas
En la hidrología, se utiliza la distribución de Weibull para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y además para describir épocas de sequía.
El imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.
Véase también Distribución exponencial de Weibull Módulo de Weibull Distribución exponencial Distribución gamma Distribución de Rayleigh
Referencias
Bibliografía .
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Enlaces externos The Weibull distribution (con ejemplos, calculadora, etc.) The Weibull plot Papel para representar gráficamente la distribución de Weibull Mathpages - Análisis de Weibull La distribución de Weibull con Excel The SOCR Resource proporciona Interfaz interactivo para la distribución de Weibull.
Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos: Easy fit , "data analysis & simulation"
ModelRisk, "risk modelling software" Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005 Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples StatSoft distribution fitting CumFreq , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial Calcular la probabilidad de una distribución de Weibull con R (lenguaje de programación) Calculadora - Distribución de Weibull
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