thumb|Yupana Con la palabra yupana, derivada del quechua yupay (contar),Santo Tomas, "Lexicon o Vocabulario de la lengua general del Perú", 1560 se define comúnmente un ábaco utilizado para realizar operaciones aritméticas, que remonta a la época de los incas.
Tipos de yupana El término «yupana» alude a dos clases distintas de objetos:
Yupanas arqueológicas: sistema de bandejas de diferentes tamaños y materiales, tallado en la parte superior en cajas geométricas, donde se asume se colocaron semillas o guijarros. La primera yupana de este tipo se encontró en 1869 .en la provincia de Azuay (Ecuador) y marcó el inicio de estudios sistemáticos sobre estos objetos. Todos los hallazgos arqueológicos son muy diferentes entre sí.Radicati di Primeglio, "El sistema contable de los incas: Yupana y Quipu", 1979
Yupana de Poma de Ayala: el diseño aparece en la página 360 del Primer Nueva coronica y buen gobierno, escrito por el cronista de Indias Felipe Guamán Poma de Ayala, y representa un tablero de ajedrez de 5 por 4.Guaman Poma de Ayala, "Primer Nueva Corónica y Buen Gobierno", 1615 El diseño, a pesar de tener algunas similitudes con la mayoría de las yupanas arqueológicas, presenta varias diferencias respecto a estas, como la forma rectangular de las cajas —cuando las de las yupanas arqueológicas son polígonos de distinta forma—.
Yupanas arqueológicas fijas: Una especie de tableros empotrados en posiciones fijas en el suelo. Se han hallado yupanas de este estilo en Manchan (en Casma)) y Huacones-Vilcahuasi ( Cañete) en el Perú.
Aunque muy diferentes entre sí, la mayoría de los estudiosos que se ocuparon de las yupanas arqueológicas ampliaron sus teorías a la de Poma de Ayala y viceversa, tal vez en un intento de encontrar un hilo conductor o un método común. Cabe señalar que el Nueva coronica fue descubierto en 1916 en la biblioteca de Copenhague, y que parte de los estudios acerca del mismo se basan en teorías anteriores respecto a las «yupanas arqueológicas».
thumb|Ilustración de un «quipucamayoc» del Primer Nueva coronica y buen gobierno. En la parte inferior izquierda se observa una yupana.
La yupana Varios cronistas de Indias describieron, aproximadamente, el ábaco inca y su funcionamiento. El primero fue Guaman Poma de Ayala que en 1615 escribió:
Además de proporcionar esta breve descripción, Poma de Ayala dibujó un contador inca sosteniendo un quipu, y con una de estas tablas a sus pies: una tabla de cinco filas y cuatro columnas, y en los cuadros una serie de círculos blancos y negros.
Por su parte, el padre jesuita José de Acosta escribió:
Y Juan de Velasco:
Yupanas arqueológicas Yupana de Chordeleg La primera yupana-arqueológica que conocemos fue encontrada en 1869 en Chordeleg en la provincia de Azuay (Ecuador). Se trata de una tabla de madera a forma de rectángulo (33x27 cm) y contiene 17 compartimentos, de los cuales 14 cuadrados, 2 rectangulares y uno octogonal. En dos bordes de la tabla hay otros compartimientos cuadrados (12x12 cm), dispuestos simétricamente uno respecto al otro, los que se superponen dos plataformas también cuadradas (7x7 cm). Estas estructuras se denominan torres. La tabla presenta una simetría de los compartimentos con respecto a la diagonal del rectángulo. Los cuatro lados del tablero también están grabados con figuras de cabezas humanas y un cocodrilo. Como resultado de este descubrimiento, Charles Wiener inició en 1877 un estudio sistemático de estos objetos. Wiener llegó a la conclusión que la yupana-arqueológica había de servir para calcular los impuestos que los agricultores pagaban al Imperio de los Incas.
La yupana de Caraz thumb|Yupana de Yauya, encontrada en el Tambo Real de Huancabamba, Zona de los Conchucos, Áncash. Encontrada en Caraz en 1878-79, esta yupana-arqueológica es diferente de la de Chordeleg. El material de construcción es la piedra y el compartimiento central de forma octogonal se sustituye con una forma rectangular; las torres también tienen tres pisos en lugar de dos.
La yupana del Callejón de Huaylas (Perú)
Una serie de yupana-arqueológica muy diferente del primero fue descrito por Nordenskiöld en 1931. Estas yupanas son de piedra y presentan una serie de compartimentos rectangulares y cuadrados. La torre se compone de dos compartimentos rectangulares. Los compartimentos están dispuestos simétricamente con respecto a la eje de la parte más pequeña del tablero.
La yupana triangular
Este tipo de yupana, hecha de piedra, tiene 18 compartimientos de forma exclusivamente triangular dispuestos alrededor del tablero. A un lado hay una torre de planta rectangular con un solo piso y tres compartimentos triangulares. En la parte central hay cuatro compartimentos cuadrados, acoplados entre ellos.
La yupana de Chan Chan (Perú)
Idéntica a la yupana de Chordeleg tanto en el material y la disposición de los compartimentos, esta yupana-arqueológica fue encontrada en el complejo arqueológico de Chan Chan en Perú en 1967.
La yupana de Carhua de la Bahía
Descubierta en la provincia de Pisco (Perú), son dos tablas de arcilla y hueso. La primera es rectangular (47x32 cm), tiene 22 compartimentos de forma cuadrada (5x5 cm) y tres rectangulares (16x18 cm) y no tiene torres. La segunda yupana-arqueológica es rectangular (32x23 cm) y contiene 22 compartimentos cuadrados, dos en forma de ele (L) y tres rectangulares en el centro. Los compartimentos están dispuestos simétricamente con respecto a la eje del lado más largo.
La yupana de Huancarcuchu
Descubrimiento de la parte superior del Ecuador por Max Uhle en 1922, esta yupana es hecha de piedra y los compartimentos son dibujados. Tiene la forma de una escalera que consta de 10 rectángulos superpuestos: cuatro en el primer nivel, tres en el segundo, dos en el tercero y una en el cuarto. Esta yupana es la que está más cerca del diseño de Poma de Ayala en Nueva Corónica, aunque tenga una línea en menos y está dibujada por la mitad.
Teoría de Cinzia Florio sobre las yupanas arqueológicas C. Florio expone un estudioC. Florio, "Recuperare la memoria - La Llave Inca come Yanantin" in "El Olvido Está lleno de memoria", Atti del XXXV Convegno Internazionale di Americanistica, Salerno, 13-15 maggio 2013 - Oédipus, Salerno que no identifica en estos restos arqueológicos una yupana, sino un objeto cuyo nombre se desconoce y que se ha olvidado, que en cambio debe relacionarse con el tocapu (ideograma ya utilizado por las civilizaciones preincaicas) llamado "llave inca" y con la filosofía del yanantin-masintin. La estudiosa llega a estas conclusiones empezando por la falta de testimonios objetivos que reconozcan en este objeto una yupana, idea que sólo se ha afirmado en los años por el reiterarse de esta hipótesis nunca demostrada, y cruzando los datos de los Documentos Miccinelli y los tocapu(s) catalogados por Victoria de la Jara.
Suponiendo colorar los sectores de la yupana arqueológica (fig. "A"), Cinzia Florio identifica un diseño (fig. "B") muy parecido a un tocapu realmente existente (fig. "C") y catalogado por Victoria de la Jara. Además, en el tocapu representado en figura "D", también catalogado por Victoria de la Jara, Florio identifica una evidente estilización del tocapu "C" y el punto inicial para la creación del tocapu "llave inca" (representado en fig. "E"). La estudiosa halla la conexión entre la yupana arqueológica y el tocapu "llave inca" también en su relación con el concepto de dualidad: la estructura de la yupana es evidentemente dual y Blas Valera en "Exul Immeritus Blas Valera populo suo" (uno de los dos Documentos Miccinelli) se refiere al tocapu que llamamos "llave inca" como representación de "fuerzas opuestas" y del "número 2", ellos también conceptos estrictamente relacionados con la idea de dualidad.
Según C. Florio, la verdadera yupana utilizada por los Incas es la de Guáman Poma, pero con un número mayor de columnas y líneas. Guamán Poma sólo habría diseñado la parte de la yupana útil para efectuar un cálculo particular que la misma estudiosa descifra ser una multiplicación (véase más adelante).
Teorías
Henry Wassen (1931) En 1931, Henry Wassen estudió la yupana de Poma de Ayala, proponiendo por primera vez una posible representación de los números en el tablero y las operaciones de adición y multiplicación. El interpretó los círculos blancos como huecos vacíos, tallados en la yupana, en los cuales insertar las semillas, descritas por los cronistas: así hizo corresponder los círculos blancos a huecos vacíos, mientras los círculos negros, serían los mismos huecos llenos de semillas.
El sistema de numeración, según Wassen es posicional a notación de base 10 (en línea con los escritos de los cronistas de Indias). La representación de los números siguió una progresión vertical de manera que las unidades se colocaron en la primera fila de la parte inferior, en la segunda las decenas, en la tercera las centenas, y así sucesivamente. La progresión de los valores de las semillas depende de su posición en la tabla: 1, 5, 15, 30, respectivamente, dependiendo de quién ocupe un hueco en la primera columna, segunda, tercera y cuarta. De acuerdo con la teoría de la Wassen, las operaciones de suma y de producto se llevan a cabo horizontalmente.
Esta teoría recibió muchas críticas debido a la gran complejidad de los cálculos, por lo que se consideró inadecuada y pronto abandonada.
A modo de ejemplo, la tabla siguiente muestra el número 13457.
+ Yupana de WassenPotenciaciónes\Valores151530104•oooooooooo103•••oooooooo102••••ooooooo101ooooo•ooooo100••ooo•ooooo Representación de 13457
Esta primera interpretación de yupana de Poma de Ayala fue el punto de partida de las teorías de autores posteriores, hasta el día de hoy. En particular, nadie nunca se apartó del sistema de numeración posicional hasta el 2008.
Emilio Mendizábal (1976)
Emilio Mendizábal fue el primero en proponer en 1976 que los Incas estaban utilizando, así como el sistema de numeración decimal, también una representación basada en la progresión 1,2,3,5. Mendizabal en la misma publicación señala que la serie de los números 1,2,3 y 5, en el dibujo de Poma de Ayala, son parte de la sucesión de Fibonacci, y destacó la importancia de la "magia" que tenía el número 5 en la civilización del norte de Perú, y el número 8 en las civilizaciones del sur del Perú.
Radicati di Primeglio (1979)
Carlos Radicati di Primeglio hizo hincapié en la diferencia entre yupanas-arqueológica y la de Poma de Ayala, describiendo también el estado de la investigación y las teorías adelantadas hasta ese tiempo. También propuso los algoritmos para el cálculo de las cuatro operaciones aritméticas básicas para la yupana de Poma de Ayala, de acuerdo con una nueva interpretación para la cual era posible tener hasta nueve semillas en cada cuadro con la progresión vertical para potencias de diez. La elección de Radicati era asociar a cada semilla el valor de 1.
+ Yupana de RadicatiPotencias\Valores1111104ooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo103ooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo102ooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo101ooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo100ooooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo
La siguiente tabla muestra el número 13457 + Yupana de RadicatiPotencias\Valores1111104•oooo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo103•••oo ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo102••••o ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo101••••• ooooooooo ooooooooo ooooooooo oooo100••••• ••ooooooo ooooooooo ooooooooo oooo Representación de 13457
William Glynn Burns (1981)
El ingeniero textil Inglés William Burns Glynn propuso una solución posicional en base 10 a la yupana de Poma de Ayala.William Burns Glynn, "Calculation table of the Incas", Bol. Lima No. 11, 1981, 1-15.
Glynn, como Radicati, adoptó la misma idea de Wassen de huecos llenos y vacíos, así como la progresión vertical de las potencias de diez, pero propuso una arquitectura que permite simplificar enormemente las operaciones aritméticas.