miniaturadeimagen|Trigonometría es una de las áreas de las matemáticas. Esta es una lista de todas las áreas de las matemáticas modernas, con una breve explicación de su alcance y enlaces a otras partes de esta enciclopedia, de un modo sistemático.

La forma en que se organizan las matemáticas de alto nivel está en determinada sobre todo por los usos, y cambia cada cierto tiempo; esto contrasta con los planes, al parecer atemporales usados en la educación de las matemáticas, donde el cálculo parece ser el mismo hace mucho siglos. El cálculo en sí mismo no aparece como un título ya que la mayor parte del contenido allí estudiado se encuentra bajo el título de Análisis. Este ejemplo ilustra, en parte, la dificultad de comunicar los principios de cualquier sistema grande de conocimientos. La investigación sobre la mayoría de los asuntos del cálculo fue realizada en , y ha sido asimilado largamente.

Fundamentos

Matemática recreativa Desde los cuadrados mágicos al conjunto de Mandelbrot, los números han sido una fuente de diversión y placer para millones de personas a lo largo de los años. Muchas ramas importantes de las matemáticas «serias» tienen sus raíces en lo que inicialmente no era más que un juego o un rompecabezas.

Historia y biografías La historia de las matemáticas está fuertemente interconectada consigo misma. Esto es perfectamente natural: las matemáticas tienen una estructura orgánica interna, derivando nuevos teoremas de los que se han demostrado antes. Cada nueva generación de matemáticos basa sus logros en los de sus antepasados, y así, el los conocimientos crecen formando nuevas capas, como la estructura de una cebolla.

Lógica matemática y fundamentos, incluyendo teoría de conjuntos Los matemáticos han trabajado siempre con lógica y símbolos, pero por siglos las leyes subyacentes de la lógica fueron supuestas, y nunca expresadas simbólicamente. La lógica matemática, también conocido como lógica simbólica, fue desarrollada cuando la gente finalmente notó que las herramientas de las matemáticas se pueden utilizar para estudiar la estructura de la lógica misma. Las áreas de investigación en este campo se han ampliado rápidamente, y se subdividen generalmente en varias áreas distintas.

Teoría de modelos La teoría modelo estudia las estructuras matemáticas en un marco general. Su herramienta principal es la lógica de primer orden.

Teoría de la computabilidad y teoría de la recursión

Teoría de conjuntos Un conjunto puede ser pensado como si fuera una colección de objetos distintos unidas por una cierta característica común. La teoría de conjuntos se subdivide en tres áreas principales: Teoría informal de conjuntos es la teoría básica desarrollada por los matemáticos a fines del . Teoría axiomática de conjuntos es una teoría axiomática rigurosa desarrollada en respuesta al descubrimiento de defectos serios (por ejemplo la Paradoja de Russell) en la teoría informal. Para esta teoría los conjuntos son «lo que satisface los axiomas», y la noción de colecciones de objetos sirve solamente como motivación para los axiomas. Teoría interna de conjuntos es una extensión axiomática de la teoría de conjuntos que apoya una identificación lógicamente consistente de cantidades ilimitados (infinitamente grandes) e infinitesimales (infinitamente pequeños) dentro de los números reales. Ver también la Lista de tópicos de la teoría de conjuntos.

Teoría de la demostración y constructivismo La teoría de la demostración nació de la ambición de David Hilbert por formalizar todas las demostraciones en matemáticas. El resultado más famoso del campo se encapsula en los teoremas de incompletitud de Gödel. Otra idea relacionada y muy conocida en la actualidad son las máquinas de Turing. El constructivo es la consecuencia de las opiniones poco ortodoxas de Brouwer sobre la naturaleza de la lógica misma; hablando desde el punto de vista del constructivismo, los matemáticos no pueden afirmar «si un círculo es redondo o no» hasta que han mostrado un círculo y han medido realmente su redondez.

Lógica algebraica Educación matemática

Aritmética

La aritmética o teoría de números fue históricamente una de las primeras áreas de las matemáticas. Actualmente sigue siendo una fuente importante de problemas matemáticos no resueltos.

Teoría de números La teoría del número se refiere tradicionalmente a las características de números enteros. Más recientemente, ha venido ser referido a clases más anchas de los problemas que se han presentado naturalmente del estudio de números enteros. Puede ser dividido en teoría elemental de números (donde los números enteros se estudian sin la ayuda de técnicas de otros campos matemáticos); teoría analítica de números (donde cálculo y análisis complejo se utilizan como herramientas); teoría algebraica de números; teoría geométrica de números; teoría combinatoria de números y teoría computacional de números. Vea también lista de los asuntos de la teoría del número.

Álgebra

El estudio de la matemática comienza con los números; primero los números naturales y los enteros y sus operaciones aritméticas, que se clasificarían dentro del álgebra elemental. Las características más avanzadas sobre números enteros se estudian dentro de la teoría de números. La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones nos lleva al campo del álgebra abstracta, que, entre otras cosas, estudia polinomios, anillo (matemáticas)s y campos, estructuras que generalizan las características de los números corrientes. Preguntas muy antiguas sobre construcciones con regla y compás finalmente fueron resueltos usando la teoría de Galois. El concepto físicamente importante de los vectores, generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentro del álgebra lineal.

Teoría del orden Cualquier conjunto de números reales se puede ordenar en forma ascendente. La teoría del orden amplía esta idea a los sistemas en general. Incluye nociones como retículos y estructuras algebraicas ordenadas.

Estructuras algebraicas Dado un conjunto, diversas maneras de combinar o de relacionar a miembros de eso fijaron pueden ser definidas. Si éstos obedecen ciertas reglas, entonces un detalle estructura algebraica se forma. Álgebra universal es el estudio más formal de estas estructuras y sistemas.

Teoría de cuerpos y polinomios

La teoría de cuerpos estudia las características de los cuerpos algebraicos. Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, la substracción, la multiplicación y la división están bien definido. Un polinomio es una expresión en la cual se combinan las constantes y las variables usando solamente la adición, la substracción, y la multiplicación.

Anillos conmutativos y álgebras conmutativas En teoría de anillos (una rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un anillo en el cual la operación de multiplicación obedece la ley de conmutatividad. Esto significa que si a y b son elementos del anillo, entonces a×b=b×a. El álgebra conmutativa estudia los anillos conmutativos y sus ideales, módulos y álgebras. Es fundamental para la geometría algebraica y para la teoría de números algebraicos. Los ejemplos más prominentes de anillos conmutativos son los anillos de polinomios.

15: álgebra lineal y multilineal; teoría de matrices. 16: anillos sociables y álgebra sociables 17: anillos no-sociables y álgebra no-sociables 18: teoría de la categoría; álgebra homological 19: K-teoría 20: teoría del grupo y generalizaciones 22: grupos topológicos, grupos de Lie, y análisis sobre ellos

(También grupos de la transformación, análisis armónico abstracto)

Análisis

Dentro del mundo de las matemáticas, el análisis está centrado en el cambio: índices del cambio, cambio acumulado, y cosas múltiples que cambian concerniente (o independiente) a una otra.

El análisis moderno es una rama extensa de las matemáticas que se amplía rápidamente para tocar casi cualquier otra subdivisión de la disciplina, encontrando usos directos e indirectos en asuntos tan diversos como teoría del número, criptografía y álgebra abstracta. Resulta ser también por sí mismo la lengua de la ciencia y se utiliza en la química, la biología y la física, en una gama que va de la astrofísica a la cristalografía de la radiografía. 26: funciones verdaderas, incluyendo derivadas e integrales 28: medida e integración 30: funciones de variable compleja, incluyendo teoría de la aproximación en dominio complejo 31: teoría del potencial 32: Varias variables complejas y espacios analíticos 33: funciones especiales 34: ecuaciones diferenciales ordinarias 35: ecuaciones diferenciales parciales

Sistemas dinámicos Esta teoría trata con el comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos y estudia la naturaleza de (y si es posible las soluciones a) las ecuaciones de movimiento de los sistemas que son a menudo primariamente mecánicos o de lo contrario físicos en su naturaleza, como lo son las orbitas planetarias y el comportamiento de los circuitos electrónicos, así como también sistemas que surgen en la biología, la economía y demás áreas. Mucha de la investigación moderna está enfocada en el estudio de los sistemas caóticos y los sistemas bizarros. 37: teoría ergódica 39: ecuaciones de diferencia y ecuaciones funcionales 40: sucesiones, series y sumabilidad 41: aproximaciones y extensiones 42: análisis de Fourier, incluyendo transformadas de Fourier, aproximación trigonométrica, interpolación trigonométrica, y funciones ortogonales 43: análisis armónico 44: transformadas, cálculo operacional 45: ecuaciones integrales 46: análisis funcional, incluyendo holomorfia infinito-dimensional, el integral transforma en espacios de la distribución 47: teoría de operadoradores 49: cálculo de variaciones y control óptimo; optimización (incluyendo teoría geométrica de la integración) 58: análisis global, análisis en los múltiples (que incluyen olomorfia infinito-dimensional)

(También: teoría potencial probabilística, aproximación numérica, teoría de la representación, análisis en múltiples)

Geometría y topología

Geometría se ocupa de relaciones espaciales, usando calidades fundamentales o axiomas. Tales axiomas se pueden utilizar conjuntamente con las definiciones matemáticas para los puntos, las líneas rectas, las curvas, las superficies, y los sólidos para dibujar conclusiones lógicas. Vea también Lista de los asuntos de la geometría

Geometría convexa y geometría discreta Incluye el estudio de objetos por ejemplo polytopes y poliedros. Vea también Lista de los asuntos de la convexidad

Geometría combinatoria o discreta El estudio de objetos geométricos y características que son discreto o combinatorio, por su naturaleza o por su representación. Incluye el estudio de formas tales como sólidos platónicos y la noción de teselación.

Geometría diferencial El estudio de la geometría usando cálculo, y se relaciona muy de cerca con topología diferenciada. Cubre las áreas tales como geometría de Riemannian, curvatura y geometría diferenciada de curvas. Vea también glosario de la geometría y de la topología diferenciadas.

Geometría algebraica A dada polinómico de dos verdaderos variables, entonces los puntos en un plano donde está forma esa función cero de la voluntad a la curva. curva algebraica amplía esta noción a los polinomios sobre a campo en un número dado de variables. La geometría algebraica se puede ver como el estudio de estas curvas. Vea también lista de los asuntos algebraicos de la geometría y lista de superficies algebraicas.

Topología Se ocupa de las características de una figura que no cambian cuando la figura es deformada continuamente. Las áreas principales son topología determinada del punto (o topología general), topología algebraica, y la topología de múltiples, definido abajo.

Topología general