En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.
El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'''N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.
Formulación Dado un espacio medible , una medida -finita y una medida con signo -finita absolutamente continua con respecto a , entonces existe una función medible sobre que satisface:
, para todo .
Además, si es otra función medible en tal que
, para todo
entonces -casi siempre.
Derivada de Radon–Nikodym
Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función que satisface
para todo se la llama derivada de Radon-Nykodym de con respecto a y suele representarse mediante . Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.
Propiedades Las demostraciones de las siguientes propiedades se pueden encontrar en.
Sean ν, μ y λ medidas σ-finitas en el mismo espacio medible. Si ν ≪ λ y μ ≪ λ (ν y μ son ambas absolutamente continuas con respecto a λ), entonces
Si ν ≪ μ ≪ λ, entonces
En particular, si μ ≪ ν y ν ≪ μ, entonces
Si μ ≪ λ y es una función μ-integrable, entonces
Si ν es una medida con signo finita (también llamada carga) o una medida compleja, entonces
Notas
Referencias Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
Radon nikodym Radon–Nikodym Categoría:Ciencia y tecnología de Austria Categoría:Ciencia y tecnología de Polonia Categoría:Ciencia de 1913 Categoría:Ciencia de 1930 Categoría:Austria en 1913 Categoría:Polonia en 1930