thumb|right|200px|Primera zona de Brillouin del sistema cristalino cúbico, que muestra sus etiquetas de simetría
La simetría en física incluye todos los rasgos de un sistema físico que exhiben propiedades de simetría; es decir, que bajo ciertas transformaciones, se mantienen invariantes con respecto a un observador en particular. Expresado de otra manera, es una propiedad de un rasgo físico o matemático de un sistema que no se modifica cuando se aplican ciertas transformaciones.
En matemáticas, una transformación es un operador tal que, ciertas funciones se simplifican. Por ejemplo, en aritmética, cuando se busca un algoritmo numérico, el proceso de búsqueda queda reducido a la suma de los algoritmos de cada factor.
Historia de la noción de simetría en física La palabra simetría proviene del griego antiguo "συμμετρία", que indica una relación de conmensurabilidad, y más específicamente, de proporción armoniosa entre diferentes elementos de un todo. La noción moderna de simetría conserva este vínculo entre las ideas de armonía, belleza y unidad, particularmente desarrolladas en la filosofía platónica, como se muestra en el famoso ejemplo de los cinco sólidos platónicosLos cinco poliedros regulares convexos, definidos por relaciones de simetría entre sus caras (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro). mencionados en el Timeo. El uso, a menudo implícito, de argumentos de simetría al servicio del razonamiento físico ha existido desde épocas remotas. Entre los antiguos griegos, dos ejemplos se hicieron particularmente famosos. El primero, debido a Anaximandro y relatado por Aristóteles en su obra Sobre el cielo, explica la inmovilidad de la Tierra por su posición central en un cosmos esférico (teoría geocéntrica): "no se puede favorecer ninguna dirección para su movimiento (algo que en términos modernos se podría calificar como isotropía), por lo que necesariamente debe permanecer estática".La cosmología contemporánea todavía hace un uso significativo de esta isotropía del Universo, pero rechaza su forma esférica para sustituirla por una hipótesis de "homogeneidad", es decir, de simetría en cualquier dirección ("principio cosmológico"). Esta hipótesis implica la ausencia de cualquier centro del Universo, contrariamente a la concepción de los griegos, y por tanto, hace compatible la isotropía con la ausencia de una posición central de la Tierra. El segundo se debe a Arquímedes, por su demostración de las leyes del equilibrio corporal y la búsqueda de baricentros.
Es en el cuando se añade la idea de elementos "intercambiables" con relación al todo, es decir, de elementos diferentes y opuestos dentro de la unidad que componen, pero aún en una cierta relación de igualdad entre ellos, sujeta a determinadas transformaciones geométricas. "Además de la antigua noción de simetría utilizada por griegos y romanos (vigente hasta finales del Renacimiento), en el siglo XVII surgió una noción diferente de simetría, basada no en proporciones, sino en una relación de igualdad entre elementos opuestos, como las partes izquierda y derecha de una figura". Es esta evolución la que conducirá a las nociones geométricas elementales de simetrías axial y central.
De la cristalografía al principio de Curie Con el nacimiento de la cristalografía a partir del final del , se hizo necesario un primer uso sistemático y matematizado de las simetrías. Combinando las tres operaciones de rotación, traslación y reflexión (simetría especular), la cristalografía conducirá, gracias a los trabajos de Auguste Bravais publicados en 1848, a una clasificación sistemática de todos los cristales existentes en función de sus celdas elementales, divididas en seis familias cristalinas y catorce tipos de redes diferentes. Además de proporcionar una nomenclatura de formas posibles, esta clasificación geométrica también permitió caracterizar un cierto número de propiedades ópticas y mecánicas de los sólidos cristalinos.
Después de estos primeros éxitos, el físico francés Pierre Curie propuso extender el uso de argumentos de simetría no solo a consideraciones geométricas, sino al estudio general de los fenómenos físicos mismos. En un famoso artículo publicado en 1894, propuso, basándose en el ejemplo de los fenómenos eléctricos y magnéticos en los cristales,Piezoelectricidad, piroelectricidad… un vasto programa a los físicos:
Para ello, utilizó la noción de grupo, un concepto matemático emergente que se convertirá en la principal herramienta para el uso de simetrías en la física teórica:
Llegó a dos conclusiones importantes, desde entonces denominadas principios de Curie:
En la conclusión n° (2), la segunda frase es solo una doble negación de la primera. Curie enfatiza claramente que su recíproco, por otra parte, es falso: la simetría de los efectos no implica la simetría de las causas, así como la asimetría de las causas no implica la asimetría de los efectos. En resumen, "un efecto puede ser «más simétrico» que su causa, pero es al menos «tan simétrico» como ésta".
Simetría en la física clásica
En la física clásica, la noción de simetría es particularmente importante, abarcando conceptos como la isotropía (también llamada simetría rotacional) o la homogeneidad, que está ligada a la invariancia por traslación en el espacio. Esta importancia se consolidó a comienzos del con el desarrollo del teorema de Noether, que establece que para cualquier ley de conservación existe una simetría subyacente en la teoría que describe el fenómeno físico.
Simetría como invariancia
La invariancia es definida matemáticamente por transformaciones que dejan magnitudes sin cambio. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos de un sólido que se mueve pero no se deforma.
Simetrías locales y globales
Una simetría global es aquella que mantiene una propiedad invariante por una transformación que es aplicada de forma simultánea en todos los puntos del espacio tiempo, mientras que una simetría local mantiene un propiedad invariante cuando una transformación de simetría distinta es aplicada en cada punto del espacio tiempo; de forma más concreta, una transformación de simetría local está parametrizada (o es dependiente) de las coordenadas espacio-temporales mientras una simetría global no. Una simetría global es, por tanto, también una simetría local. Las simetrías locales juegan un papel importante en física, ya que son la base de las teorías gauge.
La mayoría de las teorías físicas son descritas por operadores lagrangianos (en física, un lagrangiano es una función matemática a partir de la que se puede deducir la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico), que son invariantes bajo ciertas transformaciones. Cuando estas transformaciones son realizadas en diferentes puntos del espacio-tiempo y están relacionadas linealmente, entonces se dice que el sistema físico posee una simetría global.
Por ejemplo, en toda teoría cuántica, la fase global de una función de onda es arbitraria y no representa algo físico. Consecuentemente, la teoría es invariante bajo un cambio global de fases (agregando una constante a la fase de todas las funciones de onda en todas partes); esto es una simetría global. En la electrodinámica cuántica, la teoría es también invariante bajo un cambio local de fase, es decir, que se puede alterar la fase de todas las funciones de onda de manera que la alteración sea diferente en cada punto del espacio-tiempo. Esto es lo que se conoce como una simetría local.
Simetrías continuas
Matemáticamente, las simetrías continuas son descritas por funciones continuas o continuamente diferenciables. Una subclase importante de las simetrías continuas en la física son las simetrías espacio-temporales.
La simetría espacio-tiempo se refiere a aspectos del espacio-tiempo (ntidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas) que pueden ser descritos tal que exhiben una forma de simetría.
Traslación en el tiempo: Un sistema físico puede tener los mismos rasgos sobre cierto intervalo de tiempo, lo que expresado matemáticamente implica una invariancia con respecto a transformaciones para cualquier valor real del parámetro t (tiempo) en un intervalo dado. Por ejemplo, en la mecánica clásica, una partícula solamente afectada por la gravedad tendrá una determinada energía potencial gravitacional cuando está suspendida a una altura h por encima de la superficie terrestre. Asumiendo que no hay cambio en la altura de la partícula, esta será la energía potencial gravitatoria de la partícula en cualquier instante. En otras palabras, si se considera el estado de la partícula en cualquier instante, la energía potencial gravitacional total de la partícula se preserva. Traslación espacial: Estas simetrías espaciales son representadas por transformaciones de la posición, y describen aquellas situaciones en las que algunas propiedades de un sistema no se modifican debido a un cambio de posición continuo. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde esté localizado el termómetro en la habitación. Rotación espacial: Estas simetrías espaciales son clasificadas como rotaciones propias y rotaciones impropias. Las primeras son simplemente las rotaciones ordinarias, que matemáticamente son representadas por matrices cuadradas de determinante uno; mientras que las segundas son representadas por matrices cuadradas de determinante -1, y consisten de una rotación propia combinada con una reflexión espacial (inversión). Por ejemplo, una esfera tiene simetría de rotación propia. Transformaciones de Poincaré: Son simetrías espacio-temporales que preservan las distancias en el espacio-tiempo de Minkowski. Por ejemplo, las isometrías en el espacio de Minkowski, que son principalmente estudiadas en la relatividad especial. A aquellas isometrías que dejan el origen fijo se las denomina transformaciones de Lorentz, dando lugar a la simetría conocida como covariancia de Lorentz. Simetrías proyectivas: Son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espacio-tiempo (una geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie). Estas simetrías pueden ser definidas en cualquier variedad lisa (un tipo especial de variedad topológica, a la que se pueden extender las nociones del cálculo diferencial habituales, en donde todas las aplicaciones de transición son suaves). Encuentran numerosas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general. Transformaciones de inversión: Son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones biyectivas en las coordenadas espacio-tiempo. Las longitudes no son invariantes bajo las transformaciones de inversión, pero si se conserva la doble razón entre cuartetos de puntos.
Generalmente las simetrías del espacio-tiempo son descritas por campos de vectores uniformes en variedades suaves. Las aplicaciones diferenciables subyacentes asociadas con los campos vectoriales corresponden más directamente con las simetrías físicas, pero los campos vectoriales por ellos mismos son más comúnmente usados cuando se clasifican las simetrías de un sistema físico.
Algunos de los más importantes campos vectoriales son los campos vectoriales de Killing, que son aquellas simetrías espacio-tiempo en las que se preserva la estructura métrica de una variedad subyacente. En términos generales, los campos vectoriales de Killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y casi siempre son isometrías.
Un vector de Killing es un vector definido sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías.
Simetrías discretas