thumb|upright=1|Évariste Galois da una condición necesaria y suficiente para la resolución de una ecuación polinómica con el álgebra, respondiendo así a una interrogante planteada desde hacía milenios.
En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicas« Équations, théorie des», Encyclopédie Encarta. o equivalentes.El término equivalente se aplica cuando algunas transformaciones permiten reformular la ecuación bajo la forma de búsqueda de las raíces de un polinomio. Tal ecuación se escribe del modo siguiente:En álgebra es frecuente el uso de la indeterminada para modelizar la incógnita. Véase la obra de Laurent Lafforgue, La Théorie de Galois te del arithmétique Instituto desde hautes études scientifiques .
donde X designa la incógnita,.a(i) para i= 0, 1,...n-1, n son los coeficientes o parámetros, siendo a(n) distinto a 0 se llama el primer coeficiente o coeficiente inicial y a(0) es el término constante Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución."Álgebra superior" de A. Adrian Albert (1991) Grupo Noriega Editores, México D.F. ISBN 968-18-4041-0 pág. 154
La «teoría de ecuaciones» es una expresión frecuentemente utilizada en historia de ciencias.A. Dahan-Dalmedico, J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques, pp.83. Su estudio remonta a los primeros textos matemáticos conocidos;Ver por ejemplo el Papiro de Ahmes. este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco. Durante el Renacimiento y con el estudio de las ecuaciones cúbicas, nuevos tipos de números son introducidos, inicialmente calificados de imaginarios, y después números complejos. Más tarde, estos números intervendrán en la resolución de ecuaciones de segundo grado.
A partir de la Edad Moderna, el polinomio es considerado también una función. Este tratamiento ofrece métodos para determinar el número de raíces reales, para localizarlas, y también permite construir métodos de aproximación tan precisos como se desee. Uno de sus logros es el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual una función polinómica no-constante admite al menos un cero en los números complejos.
Una perspectiva adoptada en el , consiste en estudiar el menor conjunto de números estable por las cuatro operaciones y que contiene a la vez coeficientes y raíces de una ecuación dada. Este es el enfoque de la teoría llamada de Galois. Ofrece una condición necesaria y suficiente para saber si una ecuación polinómica se resuelve por las técnicas descritas anteriormente, en caso contrario, deben aplicarse aproximaciones desarrolladas en análisis matemático. Hasta el , la teoría de ecuaciones se confunde con el álgebra, más tarde, y gracias a la teoría de Galois principalmente, el álgebra se extiende para tomar en cuenta nuevas interrogantes. Esta teoría es el origen de vastos dominios de las matemáticas, como la teoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de cuerpos o incluso la geometría algebraica.
Observación: Cuando no se precisa, el término teoría de ecuaciones designa generalmente<ref group="Nota">Hay sin embargo excepciones. Un contraejemplo es el título del tomo III: Théorie des equations, J. Favart, Cours d’analyse de l’école polytechnique, Gauthier-Villars, 1963.</ref> las ecuaciones polinómicas.Por ejemplo en « Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algèbre: théorie des équations et calcul intégral», Archive for History of Exact Sciences, vol.42, n°2, pp. 91-136. Por otra parte, existen numerosas ecuaciones que, sin ser algebraicas, también forman parte de una teoría. El uso requiere que se precise la naturaleza de la ecuación considerada, como en la expresión teoría de las ecuaciones diferenciales.Se encuentra por ejemplo la expresión Théorie j des equations hddifférentielles ordinaires, en el curso impartido en la Universidad Pierre y Marie Curie, en París. No existe una teoría única que se aplique a todo tipo de ecuaciones, pues forman un conjunto muy heterogéneo.
Primeros desarrollos
Egipto y Babilonia
Tan atrás como se remontan a los textos conocidos de matemáticas se encuentran cuestiones que, adaptadas al lenguaje actual, se expresan en forma de ecuaciones algebraicas. En un papiro del antiguo Egipto se lee: «Cuándo el escriba te dice que 10 son los 2/3 y 1/10Dahan Peiffer, p 75. se traducirá como ». En tanto, los babilonios estudiaron en particular problemas que corresponden a ecuaciones de segundo grado. Su lenguaje era geométrico, el valor que se busca, que actualmente denominamos «», se denominaba «lado» y «» como «cuadrado», pero su formulación a menudo es puramente algebraica. Se puede leer, sobre una tablilla de arcilla: «He sumado 7 veces el lado de mi cuadrado y 11 veces el área: 6 15»,Esta cuestión se ha extraído de una mesita conservada en el British Museum con el número 13901: El algèbre babylonienne (El álgebra babilónica), por el IREM de Rennes. La notación 6 15 es ambigua; por lo que se ha escogido uno de sus significados posibles. para describir, en la numeración sexagesimal utilizada por los babilonios, la ecuación . El sentido geométrico de la suma de un área y de una longitud es ambigua, sin embargo ningún comentario no sostiene una interpretación puramente algebraica de la cuestión (los números multiplicados y sumados). No se desarrolló ninguna herramienta algebraica, así como tampoco existió ninguna incógnita que se pueda determinar con la ayuda de un método de cálculo. Los egipcios resolvieron la ecuación del primer grado por tanteo, con la ayuda del método de la falsa posición y los babilonios disponían de algoritmos sin otra justificación que la empírica, es decir que finalmente el valor encontrado es la solución buscada.
Se tuvo que esperar más de dos milenios para encontrar un esbozo de una verdadera «teoría». Fue desarrollada de forma independiente por tres culturas matemáticas: Grecia, la civilización árabe y la India. Diofanto, un matemático del , formaliza la «arithme», una letra que él define de la siguiente manera:Col·lectiu IREM-APMEP de Poitiers, (Instituto de Investigaciones sobre la enseñanza de las matemáticas - Asociación de Profesores de Matemáticas de la educación pública), Histoire de symboles, capítol 12: "La première inconnue", 2003, Documento en línea «El número que posee una cantidad indeterminada de unidades se llamará arithme, y su marca distintiva es . Como aclaró más adelante el arithme se suma y se multiplica; la inversa del arithme multiplicada por el bicuadrado del arithme da el cubo de la arithme».P. Ver Eecke, Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Desclée de Brouwer Liège, 1926, p 2. Esto significa, en lenguaje actual, la inversa de multiplicada por y que el resultado es igual a . Este paso permite una verdadera formulación matemática de la ecuación y, sobre todo, una forma de resolverlo. En el , antes de que la obra de Diofanto fuera traducido al árabe,Dahan Peiffer, pág. 76 el matemático de origen persa Al-Khwarazmí desarrolló una idea análoga. Su incógnita se llamaba «say».R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre: recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, París, Les Belles lettres, 1984 Una vez más, el nuevo formalismo ofrece un medio de resolución de la ecuación. R. Rashed comenta al respecto: «[Con Al-Khwarazmí] la noción base es la noción de ecuación, que puede cubrir una clase infinita de problemas, geométricos o aritméticos: la unidad ya no es el objeto sino que lo es la operación misma».J. Dhombres, G. Beaujouan, G. Mazars, J.-C. Martzloff, R. Rashed. Le matin des mathématiciens, Berlín, 1985, pág. 146 . La misma idea también está presente en el matemático indio Bhaskara II y queda recogida en su obra titulada Bījagaṇita.L. Rodet. L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, llegir-lo a Gallica, p 24.
Álgebra árabe
A menudo se considera que el matemático Al-Khwarazmí fue el fundador de la rama de las matemáticas llamada álgebra. Desde el punto de vista de la etimología, el título de su tratado sobre las ecuaciones: «Kitab al-jabr wa al-muqabala» utiliza el término «al-jabr», que ha derivado en la palabra álgebra. En árabe, al-jabr indica transformar una sustracción de un miembro en una adición al otro miembro, con el objetivo de obtener únicamente los coeficientes positivos. Por ejemplo: , siguiendo este procedimiento, se transforma en . Dahan-Dalmedico y Peiffer precisan que el trabajo de Al Khwarazmí se puede concretar en el nacimiento de una teoría referente a las ecuaciones cuadráticas, así como en el conjunto de los números positivos (casi siempre racionales), teoría que implica todavía algunas lagunas.Dahan Peiffer, pág. 85. No es solo la etimología lo que justifica esta adjudicación a Al Khwarazmí puesto que él se interesó por todas las ecuaciones de segundo grado, mientras que Diofanto solo intentó resolver algunos casos particulares, con soluciones de enteros o racionales. Al Khwarazmí desarrolló un proceso más sistemático, el objeto de su tratado es ofrecer un método que permita encontrar con certeza una solución de la ecuación, si ésta existe.
Los progresos en teoría de ecuaciones no se detienen con Al Khwarazmí. Él representa el origen de una escuela matemática que se desarrolla a lo largo de varios siglos. Su discípulo Abu Kamil disipa una primera limitación. Al principio, las ecuaciones que se estudian son casi siempre con coeficientes racionales; Abu Kamil generalizó el estudio de los coeficientes irracionales. La concepción inicial del número en los árabes es heredada de los griegos y se limita a las fracciones. Los tamaños inconmensurables, que corresponden a nuestros irracionales, son proporciones entre longitudes pero no poseen el estatus de número. Al Khwarazmí los denominó «gidr asamm», que significa raíz muda o ciega. Dos siglos más tarde, para matemáticos como Omar Khayyam, las fracciones y las proporciones inconmensurables son tratadas en los cálculos de la misma manera. Los dos conceptos se denominan «al-Adad», que significa número (los racionales se designan por el término «al-Adad al muntiqa» y los irracionales «al-Adad al-suma»), y la diferencia es más que filosófica.Dahan Peiffer, pág. 103.
Posteriormente se desarrollaron herramientas específicas que permitieron un cálculo más sencillo de las multiplicaciones de polinomios. As-Samawal logró desarrollar con ello una representación cercana al concepto moderno de polinomio formal.
Geometría al servicio del álgebra
La geometría, y particularmente la de los Elementos de Euclides, juega un papel fundamental en esta álgebra naciente. En el caso de una ecuación de segundo grado y después de dividir entre el coeficiente del monomio de segundo grado, el monomio del segundo grado puede ser visto como el área de un cuadrado cuyo lado es la incógnita que se busca. En el caso de la ecuación de primer grado, se interpreta el término del primer grado como el área de un rectángulo cuyas dimensiones son la incógnita y el coeficiente del monomio, la constante se interpreta como el área un cuadrado perfectamente determinado. Este enfoque permite a Euclides resolver problemas de primer y segundo grado.Véase Elementos de Euclides, Libro II. El enfoque del análisis de los árabes es diferente puesto que intentan resolver una ecuación, en este caso particular, del segundo grado. Sin embargo el núcleo de la demostración es el mismo: un análisis de una configuración geométrica, construida sobre la base de un gnomon. De manera metódica, el estudio del gnomon permite establecer las tres identidades notables fuente de la resolución de las ecuaciones de segundo grado.