280px|derecha Una relación binaria R sobre un conjunto A, es asimétrica cuando si se da que un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces el segundo nunca está relacionado con el primero. Es decir:
En tal caso se dice que R cumple con la relación de asimetría.
También podemos decir que R es asimétrica si:
Representación
Sea R una relación asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Notación Relación asimétrica Como pares ordenados Como matriz de adyacencia Matriz cuya diagonal solo tiene ceros, es decir, y además produce una matriz simétrica. Como grafo Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.
Relación simétrica Cuando una relación es lo opuesto a la asimétrica, nos referimos a que si dado un elemento que está relacionado con otro, entonces ese segundo siempre está relacionado con el primero, o lo que es lo mismo:
Estamos entonces ante una relación simétrica.
Ejemplos de asimetría
Sea A un conjunto cualquiera:
Sea , ("mayor estricto que"), al igual que ("menor estricto que"). Sin embargo, no ocurre lo mismo para ≤ ("menor o igual que") o ≥ ("mayor o igual que"). Sea , (la inclusión estricta de conjuntos). En A = {1, 2, 3, 4} la relación R = { (1, 3), (4, 2), (2, 3) }. En caso de encontrarnos en A = {1, 2} y tener la relación R = { (1, 2), (2, 1) } estaríamos ante una relación simétrica "Ser hijo de" o "ser padre de" conformarían una relación asimétrica, sin embargo, "ser hermano de" no.
Reflexividad Una relación asimétrica no puede ser a su vez reflexiva, ya que si x = y entonces:
Esto es algo que no puede ocurrir por la propia definición. Es decir, toda relación asimétrica es irreflexiva.
Diferencia entre asimétrica y antisimétrica Como ya se ha visto, la relación asimétrica y la simétrica son opuestas entre sí, pues nunca se va a dar una relación que sea ambas a la vez, y una que no sea simétrica siempre será asimétrica, y viceversa. Pero esto no ocurre con la antisimétrica.
Una relación antisimétrica es aquella que verifica que si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces esos dos elementos son iguales:
Una relación puede ser a la vez o simétrica o asimétrica, y antisimétrica.
Véase también Relación simétrica Relación antisimétrica Relación reflexiva Relación irreflexiva
Referencias
Categoría:Relaciones Categoría:Simetría