En análisis matemático el logaritmo con base de un número real positivo es el exponente de para obtener :
La base tiene que ser positiva y distinta de 1.
Cuando la base es 10, esta no se pone, y se escribe como y cuando es se escribe como
Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000:
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base, y después el número cuyo logaritmo se desea hallar o expresar. Por ejemplo: , luego: . Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del como un medio de simplificación de los cálculos y fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho, importante en sí mismo —por identidades logarítmicas—, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
La noción actual de los logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los conectó con la función exponencial en el y también introdujo el Número de Euler (representado por la letra e) como base de los logaritmos naturales.
Introducción Los logaritmos, que hacen posible transformar una multiplicación en una suma, una división en una resta, una potencia en un producto y una raíz en una división, tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos numéricos; hoy en día, con las calculadoras y los ordenadores, las operaciones con logaritmos han cambiado sustancialmente.
Definición Se define el logaritmo como el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número.
Dado un número real (argumento ), la función logaritmo le asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de a la potencia . Esta función se escribe como: , lo que permite obtener .
Se lee: logaritmo en base de es igual a , si, y solo si es el resultado de elevado a . Para que la definición sea válida, la base tiene que ser positiva y distinta de 1: , y la tiene que ser positiva: .
Así, en la expresión , el logaritmo en base 10 de 100 es 2; y se escribe como .
Propiedades generales miniaturadeimagen|Gráfica de la función logaritmo en base 2. Obsérvese que la función es estrictamente creciente y que sólo está definida para números positivos. Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, el logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.
Si b es entero (Z) y el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1, entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si el logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1). Lo cual puede resumirse así: Sea b ∈ Z ∧ 0<a<1 ⇒ logb(a)= -c.
Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,…, etc., y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4, …, etc., ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc., luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.
Propiedades algebraicas
En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.
Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.Kasner-Newman: Matemática e imaginación. Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:
Selección y cambio de base Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que, todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):
en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:
El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.
Propiedades analíticas Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como
Función logarítmica Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial
existe una única solución x, asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental. Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.
Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para ), o estrictamente decreciente (para ).
La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).
Función inversa derecha|miniatura|Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).|alt=The graphs of two functions. La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,
En lenguaje llano, tomando la potencia de b y luego el logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula
dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de ., section 1.6
Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.
Crecimiento o decrecimiento de la función Como consecuencia, logb(x) tiende a (se hace más grande que cualquier número dado) si x se aproxima a , siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es una función creciente. Para , logb(x) tiende a en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para (a más infinito cuando , respectivamente). En cualquier caso, y para todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de las abscisas en el punto (1,0).
Derivada e integral indefinida derecha|miniatura|El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en (negro)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point. Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. Así, como f(x) = bx es una función continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por
Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en en el punto es igual a . En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es .La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es
El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica., p. 386 La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:
Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.
Representación integral del logaritmo natural derecha|miniatura|El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x (inversa de x).|alt=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.
El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t: