En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita. Definición en probabilidad y demostración
1º Lema de Borel-Cantelli Sea una sucesión de eventos tal que entonces .
Demostración:
Tenemos que . Ya que implica que .
2º Lema de Borel-Cantelli Sea una sucesión de eventos tal que y son independientes, entonces .
Demostración:
Tenemos que , donde la última igualdad resulta de la independencia.
Basta ahora probar que .
Recordemos la desigualdad .
Por tanto, .
Definición formal y demostración Sea una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida en los reales. es la medida. Sea la integral de f respecto de . Supongamos que:
entonces por convergencia monótona . Por ende la función es finita c.t.p.-.
Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos en , o sea y la medida es de probabilidad entonces: implica que c.t.p.-, es decir, en , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos tiene probabilidad cero.
Resultado inverso Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes en , entonces implica que c.t.p.-, es decir, en , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos tiene probabilidad uno.
Bibliografía David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).
Referencias
Borel-Cantelli, lema de Borel-Cantelli Borel-Cantelli, lema