En matemáticas, la función de Chebyshov es alguna de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshov ϑ(x) o θ(x) se expresa como:
con el sumatorio comprendiendo todos los números primos p menores que x. La segunda función de Chebyshov se define como:
donde es la función de von Mangoldt. Se usa frecuentemente la función de Chebyshov en pruebas relacionadas con los números primos, ya que es más fácil de usar que la función contadora de primos, . Ambas funciones son asintóticas a , lo cual equivale al teorema de los números primos.
Ambas funciones se llaman así en recuerdo de Pafnuti Chebyshov.
Propiedades Un teorema de Erhard Schmidt asegura que, para cualquier real, positivo K, existen valores de x tal que
y
se cumple en infinitas ocasiones.Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp.195-204. G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196. En notación O, podríamos expresar lo anterior como
Hardy y Littlewood probaron un resultado más fuerte:
Relaciones La segunda función de Chebyshov puede relacionarse con la primera escribiéndola como
donde k es el único entero que cumple pero . Una relación más directa es la dada por
Nótese que este última suma solo tiene un número finito de sumandos que no se cancelan, ya que
para
La segunda función de Chebyshov es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los enteros comprendidos entre 1 y n.
Relación con la función La función de Chebyshov puede ser relacionada con la función de la siguiente manera. Defina
Entonces
La relación entre y la función contadora de primos, , se tiene en la siguiente ecuación
Ciertamente , de manera que la última relación se puede escribir en la forma
Relación con los primoriales
La primera función de Chebyshov es el logaritmo del primorial de x, denotado por x#:
Esto prueba que el primorial x# es asintóticamente igual a exp((1+o(1))x), donde "o" es el símbolo de Landau (o notación o-pequeña, véase notación O) y junto con el teorema de los números primos, establece un comportamiento asintótico de pn#.
Relación con la función suavizante La función suavizante se define como
Se puede demostrar que
Una fórmula exacta En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt hallóDavenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search. una expresión explícita para , que contiene una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:
donde recorre todos los ceros no triviales de la función zeta, y
En la serie de Taylor para el logaritmo, el último término de la fórmula explícita puede ser interpretado como el sumatorio de sobre todos los ceros no triviales de la función zeta, , es decir,
Comportamiento asintótico Pierre Dusart Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, ", Rapport de recherche n.º 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k - 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415. probó los siguientes comportamientos asintóticos para las funciones de Chebyshov:
para k''' ≥ exp(22)
para k ≥ 198
para k ≥ 198
para x ≥ 10.544.111
para x ≥ exp(22)
para x ≥ exp(30)
Estas anteriores, junto con , dan una buena caracterización de estas dos funciones.
Aplicación a la formulación variacional
La función de Chebyshov evaluada en x = exp(t) minimiza el funcional
entonces
para c'' > 0.
Referencias
Enlaces externos Riemann's Explicit Formula
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