El sistema vigesimal es uno de los sistemas de numeración posicional, para nombrar, escribir y contar los números, cuya base es el número veinte. El sistema numeral decimal y el sistema numeral vigesimal son los sistemas más frecuentemente usados en las lenguas del mundo para contar. Las lenguas celtas, el euskera o las lenguas de Mesoamérica usaban sistemas de cuenta basados en el sistema vigesimal.
La representación de los números Del mismo modo que en el sistema decimal la base es el número 10, en el sistema vigesimal la base es el número 20. En el sistema vigesimal 20 unidades de orden inferior equivalen a una unidad de orden superior inmediato. Los números se cuentan de veinte en veinte. Se especula que este sistema habría tenido su origen en la cantidad de todos los dedos de las manos y de los pies de un ser humano.
En el sistema decimal contamos unidades (del uno al nueve), decenas (10 X 1 = 10, 10 X 2 = 20, 10 X 3 = 30...), centenas (100 X 1 = 100, 100 X 2 = 200, 100 X 3 = 300..), millares (1000 X 1 = 1000, 1000 X 2 = 2000...), decenas de millar (10000 X 1 = 10000, 10000 X 2 = 20000...), centenas de millar (100000 X 1 = 100000, 100000 X 2 = 200000...), millones... etc. Diez unidades conforman una decena. Diez decenas forman una centena y así sucesivamente.
En el sistema vigesimal la clase de las unidades simples conlleva un conjunto de veinte elementos. Y cuando se cuenta al tener 20 unidades se asume que forman la clase de las veintenas, la clase de segundo orden. Veinte veintenas conforman la clase de tercer orden. Y luego hay distintas series que se cuentan de veinte en veinte. Eso quiere decir que la primera cuenta va del número cero al diecinueve.
Al escribir 835v, 5 indica 5 sombreros; 3 muestra 3 cajas de 20 sombreros cada una; 8 señala 8 almacenes cada uno de 20 cajas, en total 160 cajas = 3200 sombreros.
Las veintenas se cuentan del número uno al 19, comenzando por la primera veintena hasta la veintena número 19.
La siguiente serie se basa en el número 400 (400 X 1 = 400, 400 X 2 = 800...). La serie basada en el número 400 se computa ayudándose de las diecinueve unidades.
La siguiente serie se basa en el número 8000 (8000 X 1 = 8000, 8000 X 2 = 16000, 8000 X 3 = 24000...).
Así el número decimal dos mil once (2011) en el sistema vigesimal es 05.00.11. Es decir, 5 series de cuatrocientos, cero series de veinte, 11 unidades.
2011 = (5 X 400) + (0 X 20) + 11 unidades.
La representación mediante glifos La representación de los números puede ser mediante glifos. Los antiguos mexicanos utilizaban una bandera para representar las veintenas y una pluma para representar la serie basada en el número 400; un saco para representar la serie basada en el número 8000.Willian H. Prescott, El Mundo de los Aztecas, p. 71, Círculo de Lectores, S.A., Barcelona, 1972
20 → 20px
400 → 20px
8000 → 20px
Puede ocurrir que un glifo se repita varias veces, de una manera análoga a la repetición de puntos para indicar una pluralidad de unidades.
60 → 20px20px20px
La representación mediante cifras La representación numérica tiene variantes:
A) La representación occidental (que no es propia de los pueblos americanos, porque no usaban números arábigos ni utilizaban los puntos para separar las series).
En la primera variante utilizamos puntos para separar las distintas series. Cada serie tiene dos dígitos para contabilizar las 19 unidades que caben en cada serie:
00.00.00.00.00.00.00
Así 112 millones serían 01.15.00.00.00.00.00, número que representa una serie de 64 millones, 15 series de 3.200.000, cero series de 160.000, cero series de 8.000, cero series 400, cero series de 20 y cero unidades.
B) La representación mexicana (mayas, nahuas).
Los mayas y los nahuas no separaban las series mediante puntos. La separación de las series se conseguía mediante la escritura vertical, de arriba hacia abajo. Las unidades ocupaban el lugar inferior. Una línea más arriba iba la serie basada en el número 20. Una línea más arriba la serie basada en el número 400... etc.
Así, la cifra 112 millones se representaba de la siguiente manera. miniatura|Numeración maya.
01 15 00 00 00 00 00
Y no utilizaban los números arábigos sino un sistema propio de puntos y rayas, en el que cada punto representaba una unidad y cada raya cinco unidades. El número cero (ahtle) se representaba mediante una concha.
La representación mediante palabras Del mismo modo que en castellano tenemos palabras que designan cantidades decimales, los hablantes que utilizaban el sistema vigesimal utilizaban su propia terminología. Las mayoría de las lenguas indoeuropeas utilizan un sistema de numeración decimal, lo que significa que los nombres de los números se agrupan en series de diez, y que existen raíces para los números del uno al nueve, el diez, el cien, el mil y los demás nombres son derivados de las raíces para los numerales citados. Otras familias de lenguas emplean también el sistema decimal y existen familias de lenguas donde se usan sistemas vigesimales (vasco, lenguas mayas, lenguas utoaztecas, etc.). Algunas lenguas tienen subsistemas de base cinco, dentro de un sistema decimal o vigesimal.
Los hablantes de lengua náhuatl utilizaban la palabra pohualli para la serie basada en el número 'veinte': Cempohualli (20), ompohualli (40), (y)epohualli (60), nappohualli (80), macuilpohualli (100)... En las formas anteriores cem-/cen- es '1', om(e)-/on- es '2', (y)e(i)- es '3', nahui > nauh-/nap- es '4', etc.
Utilizaban la palabra tzontli para la serie basada en el número cuatrocientos: Centzontli (400), ontzontli (800), (y)etzontli (1200), nauhtzontli (1600), macuiltzontli (2000)...
La palabra xiquipilli era la elegida para la serie basada en el número 8000: Cenxiquipilli (8000), onxiquipilli (16000), (y)exiquipilli (24000), nauhxiquipilli (32000), macuilxiquipilli (40000)...
Otras palabras eran pohualxiquipilli (8000 X 20 = 160 000), tzonxiquipilli (160 000 X 20 = 3 200 000), pohualtzonxiquipilli (3 200 000 X 20 = 64 000 000)...
Al decir de palabra una cifra intercalaban la preposición «ipan» (sobre) entre las distintas series, porque así era como la representaban, las series más grandes sobre las más pequeñas.
Si querían multiplicar 4 unidades por 2 unidades, decían «nappa ome» (cuatro veces dos).
Si quería dividir 4 unidades entre 2, «nahui itzalan ome» (cuatro entre dos).«Itzalan» significa entre. Connota división.
Si querían sumar 4 más 2, decían «nahui ihuan ome» (cuatro más dos).«Ihuan» significa con, y. Connota adición, suma.
Si querían restar 4 menos 2, decían «nahui iyoh ome» (cuatro menos dos).«Iyoh» significa literalmente aparte, solo. Connota pérdida, desgracia, disminución, merma, deterioro. Entre dos cifras significa con exclusión de algo.
Si querían decir 4 coma dos, decían «nahui ica ome» (cuatro con dos).«Ica» significa con. Connota materia, pieza porción o pedazo.
El signo = se decía «inamic»,<ref>«Inamic» es la forma de namictli». Significa su pareja, su igual. Connota igualdad.</ref> que significa igual a, equivalente a.
16 + 42 = 58 → caxtolli once ihuan ompohualli omome inamic ompohualli ipan caxtolli omeyi.
Las series decimales del sistema vigesimal tienen su propio nombre en castellano: veintésimas,http://www.definiciones-de.com/Definicion/de/veintesimo.php tetracentésimas y ochomilésimas. Más abajo se pondrá su nombre en náhuatl. El cociente decimal expresado vigesimalmente y el cociente vigesimal expresado decimalmente Cociente decimal o decimal es un número no entero y representa una fracción o parte de un número entero, pero no de cualquier número entero sino de la unidad. Existen decimales en el sistema decimal y en otros sistemas numéricos, como el sistema vigesimal.
0,25 (veinticinco centésimas)
0,05 (cinco centésimas)
0,5 (cinco décimas)
1.000.000,5 (un millón de unidades con un cociente decimal de cinco décimas)
En el lenguaje no técnico, solemos expresar estas cantidades con un lenguaje poco riguroso. Por ejemplo:
0,12 (cero coma doce)
Pero este lenguaje no técnico no nos sirve para indicar si estamos en un sistema decimal o en otro sistema.
Los números decimales se subdividen en unidades decimales y en cociente decimal.
La lógica del concepto del cociente decimal es tan característica que si en el sistema vigesimal queremos escribir 23,23 (= 01.03,04.12)Una veintena y tres unidades con cincuenta y dos tetracentenas. observamos que no podemos escribirlo como 01.03,01.03.
Del mismo modo, si escribimos un cero a la derecha de una unidad decimal, la cantidad aumenta.
10 (unidades) → 100 (unidades)
Pero si escribimos un cero a la derecha de un cociente decimal, la cantidad no aumenta sino que únicamente cambia de paradigma.
0,1 (una décima) = 0,10 (diez centésimas) → la cantidad es la misma pero expresada de otro modo —con otro modelo o paradigma—.
Ello justifica que se dedique un apartado específico al cociente decimal dentro de los números decimales.
En el sistema vigesimal no se expresan decimalmente las décimas, centésimas o milésimas, pero si existen decimales. Las décimas, centésimas y milésimas se expresan vigesimalmente. Porque cuando un matemático dice en el sistema decimal que 0,5 son cinco décimas, o cincuenta centésimas, o quinientas milésimas... se está refiriendo a un valor que representa la mitad de la unidad y sucede lo mismo cuando un matemático en el sistema vigesimal dice que 00,10 es la mitad de una unidad. Ambos matemáticos están expresando la misma idea.
* 0,5 (cinco décimas expresadas decimalmente) = 00,10 (cinco décimas expresadas vigesimalmente).
* 0,06 (seis centésimas en el sistema decimal) = 00,01.04 (seis centésimas expresadas vigesimalmente).
* 3,23 (3 unidades con 23 centésimas expresadas decimalmente) = 03,04.12 (3 unidades, con 23 centésimas expresadas vigesimalmente).
Un nativo americano dirá que los europeos expresan las veintésimas decimalmente y un nativo europeo que los americanos expresan las décimas vigesimalmente:
00,04.12 —para un nativo americano «cuatro veintésimas, doce tetracentésimas» o «cuatro sobre doce tetracentésimas», expresión propia del sistema vigesimal— son para un nativo europeo noventa y dos tetracentésimas (4 X 20 + 12 = 92), expresión propia del sistema decimal que constituye otro paradigma del cociente decimal.
La representación numérica en el calendario Del mismo modo que los occidentales utilizan el sistema decimal, los mayas y los nahuas usaban el vigesimal. Pero, al igual que los occidentales, la cuenta tenía modificaciones en la cuenta del calendario.
Los mayas tenían 20 días (que llamaban kines). Con 20 kines hacían un uinal y con 18 uinales hacían un tun (de 360 kines) —en lugar de veinte uinales—.Sylvanus G. Morley, La Civilización Maya, p. 253, Fondo de Cultura Económica, México, 1975.
La semana de los nahuas era de 5 días y el mes se dividía en cuatro semanas de cinco días.
Había otra cuenta, la del «tonalamatl». Según la cual, por ejemplo, Tenochtitlan cae en poder de los españoles en el día (tonalli) «ce coatl» (uno serpiente), del mes (metztli) «tlaxochimaco», del año (xihuitl) «yei calli» (tres casa) que corresponde al 13 de agosto de 1521.En el calendario religioso el cómputo de los días de los meses —por ejemplo «ce coatl»— era una combinación de 20 signos que se acompañaban de una serie de 13 números, de modo tras el signo (o «tonalli») acompañado del número 13 va otro signo acompañado con el número 1.
Operaciones numéricas en el sistema vigesimal La suma en el sistema vigesimal 1) Un ejemplo con cifras escritas verticalmente.
Para sumar 25 (1.05) más 25 (1.05), cuyo resultado es 50 (2.10), el procedimiento es sencillo.
01 + 01 = 02 (dos series de veinte) 05 + 05 = 10 (diez unidades)
2) Un ejemplo con cifras escritas horizontalmente.
En este caso vamos a sumar 75 + 75 = 150.
En el sistema vigesimal:
03.15 (sumando) +03.15 (sumando)
07.10 (total)
Procedimiento empleado para hallar el total: