thumb|180px|right|Pierre de Fermat
En matemáticas y, más concretamente, en teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados enuncia las condiciones para que un número entero sea la suma de dos cuadrados de enteros, y precisa de cuántas maneras diferentes lo puede ser. Por ejemplo, según este teorema, un número primo impar es la suma de dos cuadrados de enteros si y sólo si el resto de su división euclídea entre 4 es 1; en este caso, los cuadrados quedan determinados de forma única. Se puede verificar sobre 17 (=4·4+1) o 97 (=4·24+1), ambos primos, que los dos se pueden expresar de una única forma como suma de dos cuadrados ( y ); también, que otros números primos como 7 (=4·1+3) o 31 (=4·7+3) no se pueden expresar como suma de dos cuadrados. Este resultado a veces de llama simplemente teorema de los dos cuadrados o también teorema de Fermat de Navidad. En concreto, el teorema dice lo siguiente:
Es decir, , donde e son números enteros si o, si no, si para algún entero, o escrito en notación moderna, (véase aritmética modular).
Sin embargo, como se ve más adelante en este mismo artículo, se pueden hacer generalizaciones a cualquier número entero y no solamente números primos.
El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego Axel Thue.
El teorema se inscribe en la larga historia de la representación de números como suma cuadrados, que se remonta a la antigüedad. Fue expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) en el , pero la primera demostración publicada conocida es de Leonhard Euler, un siglo más tarde. Su demostración, sin embargo, no cierra las preguntas. En el transcurso de los siglos posteriores se propusieron nuevas demostraciones y varias generalizaciones. Estas contribuciones han tenido un papel importante en el desarrollo de la rama de las matemáticas llamada teoría algebraica de números.
Parecido a muchas ecuaciones diofánticas, es decir, ecuaciones donde los coeficientes y las soluciones buscadas son números enteros o racionales, la simplicidad del enunciado esconde una dificultad real en su demostración. Algunas de las pruebas propuestas han ayudado a la puesta a punto de herramientas a veces sofisticadas, como las curvas elípticas o la geometría de los números, relacionando así la teoría de números elemental con otras ramas de las matemáticas.
Presentación del teorema
El caso de los números primos Ciertos números primos son suma de dos cuadrados de enteros. Claro es el caso del e, igualmente, del . Sin embargo, otros, como el 3 y el 7, no verifican esta propiedad, como se puede comprobar viendo todos los posibles casos. Una prueba sistemática hasta 40 concluye que:
pero que, sin embargo, 3, 7, 11, 19, 23 y 31 no se pueden descomponer de esta forma. El teorema da un criterio general que permite discriminar estas dos situaciones a priori:
Decir que es congruente con 1 módulo 4 significa simplemente que el resto de la división euclídea de entre 4 es 1, o también que el número es de la forma para un cierto entero . Este vocabulario se explica en el artículo Congruencia (teoría de números).
El caso general Si se empiezan a escribir los enteros inferiores a 50 (independientemente de que sean primos o no) sobre cuatro líneas, en función del resto de su división entre cuatro (0, 1, 2 o 3), se obtiene:
Los enteros escritos en verde designan aquellos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados perfectos; los otros se han escrito en rojo. Podemos observar que la cuarta línea es toda roja, es decir, ninguno de esos enteros se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos. Pero observamos que el producto de un número par de factores de la forma es de la forma , pues, calculando módulo 4, y están en la segunda línea. Los números de la primera y de la tercera línea son todos pares. Por tanto, la última línea no contiene más que números que tienen un número impar de factores primos de la forma . Esto da una pista para comprender la situación general.
El caso de un número cualquiera depende de sus factores primos. Se tiene que:
Así, 30 no puede ser suma de cuadrados, ya que , y 3, que es de la forma con entero, interviene en esta factorización con exponente 1 (impar). En cambio, sí que es suma de dos cuadrados, ya que 3 en este caso interviene en una potencia par (2). De hecho, .
La cuestión del número de parejas de cuadrados cuya suma es igual a un entero dado (es decir, el número de soluciones) es más difícil y depende de los exponentes de los factores de de la forma . Escribiendo con sólo divisible por 2 y por factores primos de la forma , y con , por tanto, los factores de la forma , entonces tiene exactamente descomposiciones diferentes en suma de dos cuadrados si al menos uno de los exponentes es impar, y descomposiciones si todos lo exponentes son pares.
Otra expresión equivalente de este número de descomposiciones la dio Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851):
Nótese que se cuentan todas las representaciones, incluso aquellas que no difieren más que por el signo o el orden. Por ejemplo, admite 8 representaciones como suma de dos cuadrados.Este enunciado y una demostración se encuentran en Introducción a la teoría de números de Hardy & Wright, teorema 278. Un último aspecto importante es la construcción explícita de los cuadrados cuya suma es el dado.
Historia
Época antigua: primeros resultados miniaturadeimagen|Edición de 1670 de las Aritméticas de Diofanto de Alejandría. El interés por las suma de cuadrados se remonta a la antigüedad: se encuentran sumas de este tipo en tabletas cuneiformes del principio del segundo milenio antes de nuestra era y dos lemas añadidos al teorema X. 28 en los Elementos de Euclides explican cómo construir cuadrados perfectos que sean la suma o la diferencia de cuadrados perfectos, o al contrario, cómo no obtener un cuadrado sumando dos cuadrados.Euclides. Les Éléments, comentarios y notas de Bernard Vitrac, Vol. 3, Libro X, pp. 171-176.
Pero es en la tradición diofántica donde se encuentran rastros más precisos sobre los números suma de cuadrados. Las Arithmetica,Diofanto de Alejandría. Les six livres arithmétiques, trad. P. Ver Ecke, París: Albert Blnchard, 2000. La numeración de los problemas varía de una adición a la otra y, en este caso, se utiliza aquí la de esta edición. Originalmente, estos seis libros, los únicos conocidos hasta la actualidad, forman parte de un conjunto más amplio de trece libros. Hacia el año 1970, se han encontrado cuatro libros más en una versión árabe.Véase Diofanto, Les Aritmètiques. París: Les Belles Lettres, 1984, 2 volums. escritas en una fecha incierta, contienen problemas con soluciones racionales o enteras. Una gran cantidad de ellos se refiere a los números cuadrados o cúbicos (en este caso a los cuadrados o cubos de números reaciojnales). Por ejemplo, el problema 11 del libro II es el siguiente: «Añadir un mismo número a dos números dados de forma que cada uno de ellos forme un cuadrado», o el problema 22 del libro IV: «Encontrar tres números tales que el número sólido procedente de estos tres números [en otras palabras, el producto de estos tres números], aumentado de cada uno de ellos, forme un cuadrado».Esta traducción es la de P. Ver Ecke, citada antes. Para resolver todas estas cuestiones, Diofanto introduce una «cantidad indeterminada de unidades» que llama «arithme» y expresa en función de ella todos los datos del problema (es pues un antepasado de la noción de incógnita en álgebra). Consigue así encontrar una solución numérica particular, por ejemplo para el problema II.11 la solución 97/64 si los números dados son 2 y 3.
Varias menciones referentes a la determinación de los números suma de dos cuadrados aparecen de forma dispersa en diversos problemas. Por ejemplo, Diofanto anota sin explicación que 15 no puede ser la suma de dos cuadrados de números racionales en medio de la solución del problema VI.14. En el libro III, afirma que el número 65 es una suma de dos cuadrados de dos maneras distintas, ya que es el producto de 5 y de 13, ellos mismos sumas de dos cuadrados.André Weil. Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre. Capítulo I, § 6. Boston: Birkhäuser, 1984. Otro problema hace referencia al hecho de «partir la unidad en dos partes y añadir a cada fragmento un número dado, con tal de formar un cuadrado». Esto significa buscar una expresión de:
son cuadrados de números racionales. Aquí
Esto significa buscar como suma de dos cuadrados. Diofanto dice explícitamente que debe ser par; en otras palabras, que la división de entre 4 da resto 1.Diofanto añade otra condición, pero desgraciadamente el texto que ha sobrevivido es poco claro; se han propuesto múltiples interpretaciones y atribuyen a Diofanto una comprensión más o menos completa de las condiciones por las que un número es o no suma de cuadrados. Véase, por ejemplo:
Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers, volumen 2, p. 225.
Ver Ecke, en el comentario de las Arithmétiques de Diofanto, op. cit., p. 197.
Ciertos lectores matemáticos de Diofanto estudiaron de forma más sistemática y aritmética los números suma de cuadrados; en particular, la tradición en árabe de al-Khazin, al-Sizji, al-Samaw'al.R. Rashed. "Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres". En Histoire des sciences arabes, vol. 2, París: Seuil, 1997, p. 80-85. Su perspectiva combina, sobre los problemas diofánticos que se prestan, técnicas inspiradas en el álgebra naciente y un punto de vista euclídeo, en particular un enfoque sobre los números enteros y de pruebas generales. Por ejemplo, enseñan que una suma impar de dos cuadrantes primos entre sí es de la forma o . Un contexto importante es el estudio de los triángulos rectángulos en números, o ternas pitagóricas, es decir, de los números que verifican que : en efecto, si los lados son primos entre sí, se escribe como suma de cuadrados.
: Los enunciados miniaturadeimagen|Marin Mersenne establece un contacto epistolar sólido entre Fermat y sus contemporáneos. En el se empieza una exploración más sistemática, en relación directa con las ediciones y comentarios de las Aritméticas de Diofanto. Más adelante llegan los primeros enunciados completos del teorema.
Albert Girard acaba la traducción de Simon Stevin de los libros de Diofanto y en sus anotaciones, en el año 1634, anuncia que los números que se pueden expresar como suma de dos cuadrados son «los cuadrados, los , los productos de números de estas dos formas y el doble de cada número así obtenido», es decir, un enunciado equivalente al enunciado general que se ha dado más arriba. Pero no presenta ninguna demostración.