La iconografía de las correlaciones, uno de los métodos de análisis de datos, consiste en reemplazar una matriz de correlación por un esquema o grafo donde las correlaciones «notables» son representadas por un trazo continuo (correlación positiva), o un trazo punteado (correlación negativa).
A partir de un cuadro de datos (por ejemplo, una hoja de cálculo) que contiene columnas («variables») y líneas («observaciones» de estas variables), la iconografía de las correlaciones elimina las «falsas buenas correlaciones» entre estas variables, esto es, las que se deben a una tercera variable, y detecta las correlaciones «enmascaradas». El «esquema» final, que presenta solo los vínculos directos entre las variables cualitativas y\o cuantitativas, es un medio de percibir de una ojeada lo esencial, sobre una figura única, quitando las redundancias.
¿Qué es una correlación «notable»? Una correlación no tiene sentido aisladamente. Recíprocamente una correlación escasa no implica la ausencia de vínculo.
Ejemplo 1 : las variables A y C se correlacionan fuertemente porque sus variaciones son vinculadas las dos a una variable X. En realidad no hay vínculo AC, sino un vínculo XA y un vínculo XC. En otros términos, la correlación entre A y C es redundante, y desaparece, cuando X es mantenido constante (hablamos de correlación parcial escasa con relación a X). Lo deducimos del esquema de las solas correlaciones notables :
Ejemplo 2 : la variable Y depende de varias variables C, D, E, F y G independientes. También la correlación de Y con cada una de ellas, consideradas por separado, es escasa (no "significativa" con sentido probabilista del término). En realidad, existen unos vínculos rigurosos CY, DY, EY, FY y GY. Lo deducimos el esquema de las correlaciones notables :
Selección de los vínculos notables Ilustrémosla sobre un pequeño ejemplo: en el momento de un control matemático de un nivel de clase de tercer año de bachillerato, ocho alumnos del primer año al último curso, cuyo peso, la edad y la asiduidad conocemos, obtuvieron las notas siguientes:
+ Datos originalesAlumnoPesoEdadAsiduidadNota e1 52 12 12 5 e2 59 12,5 9 5 e3 55 13 15 9 e4 58 14,5 5 5 e5 66 15,5 1113,5 e6 62 1615 18 e7 63 17 12 18 e8 69 18 9 18
+ Matriz de correlación PesoEdadAssiduidadNotaPeso1Edad0,8851Asiduidad-0,160-0,0591Nota0,7740,8930,3831
Coloquemos nuestras cuatro variables al azar sobre el papel, y tracemos uno trazo entre dos de ellas cada vez que su correlación es superior al umbral 0,3 en valor absoluto.
¡A la vista de este esquema, la correlación (peso, nota) = 0.774, relativamente fuerte, da a pensar que el peso tiene más influencia sobre la nota que la asiduidad! Pero, por otra parte, tenemos las correlaciones (peso, edad) = 0,885, y (edad, nota) = 0,893.
A partir de estos 3 coeficientes de correlación total, la fórmula de la correlación parcial da: correlación (peso, nota) a edad constante : = -0,08
¡La correlación entre nota y peso, a edad constante fuertemente bajó (es hasta ligeramente negativa)! De otro término el peso no tiene influencia sobre la nota. Borremos el vínculo entre peso y nota:
En definitiva, un vínculo no es trazado, sea porque su correlación total es inferior al umbral, en valor absoluto, sea porque existe por lo menos una correlación parcial inferior al umbral, en valor absoluto, o de signo contrario a la correlación total.
No es necesario, aquí, de borrar otros vínculos, como se lo verifica a partir de los valores de otras correlaciones parciales: Correlación (peso, nota) a asiduidad constante = 0,92 Correlación (edad, peso) a nota constante = 0,68 Correlación (edad, peso) a asiduidad constante = 0,89 Correlación (edad, nota) a peso constante= 0,71 Correlación (asiduidad, peso) a nota constante = -0,78 Correlación (asiduidad, peso) a edad constante = -0,23 Correlación (asiduidad, nota) a peso constante = 0,81 Correlación (asiduidad, nota) a edad constante = 0,97 Correlación (asiduidad, edad) a peso constante = 0,18 Correlación (asiduidad, edad) a nota constante = -0,97
Instantes notables del análisis Los datos disponibles permiten llevar más lejos el análisis.
Podemos considerar en efecto cada línea como un «instante» del análisis, caracterizado por una variable indicadora igual a 1 en el instante de la línea considerada, y a 0, en otro caso:
AlumnoPesoEdadAsiduidadNotae1e2 e3e4e5e6e7e8 e1 52 12 12 510000000 e2 59 12,5 9 501000000 e3 55 13 15 900100000 e4 58 14,5 5 500010000 e5 66 15,5 1113,5 00001000 e6 62 1615 1800000100 e7 63 17 12 1800000010 e8 69 18 9 1800000001
Aunque los «instantes» llevan los mismos nombres que los alumnos, hay que recordar que las alumnas son unas líneas (observaciones), mientras que los instantes son unas columnas, que forman parte de las «variables», con el mismo título que las 4 primeras columnas.
Podemos pues adoptar el mismo criterio de trazado de los vínculos para los "instantes" y las variables originales. No obstante, para no agravar el esquema, dibujemos solamente los «instantes» vinculados a una variable por lo menos («instantes notables»).
Los «instantes» son representados por un triángulo, para que se puedan distinguir de las variables originales, que son representadas por un cuadrado.
Con relación al esquema precedente, el vínculo entre nota y asiduidad desapareció, reemplazó por los vínculos (Nota, e6) y (Asiduidad, e6) . Era pues redundante: el alumno e6, muy asiduo y bien anotado, le explica a solas el vínculo (Nota, Asiduidad) . El alumno e3 tiene asiduidad notablemente fuerte, y el alumno e4 asiduidad notablemente escasa (trazo punteado).
Un vínculo es dicho «notable» cuando otros vínculos presentes sobre la figura no bastan con explicarlo.
El alumno e6 tiene en efecto una nota «notable»: 18/20. Los alumnos e7 y e8 que tienen, también, 18/20, no son notables: no aparecen sobre el esquema, porque, más de edad, sus nota es ya explicada por el vínculo (edad, anota).
Del mismo modo, podemos verificar sobre los datos, que e5 tiene un peso notablemente fuerte para su edad (con relación a los 8 alumnos de la población estudiada); mientras que el alumno e1 tiene un peso notablemente escaso para su edad.
Los vínculos entre cuadrados (variables - variables) subrayan las leyes generales; los vínculos cuadrado-triángulo (variable - instante) subrayan los acontecimientos raros.
Algoritmo de la iconografía de las correlaciones El principio de la iconografía de las correlaciones es bastante simple para permitir un trazado manual, si el cuadro de datos es pequeño. Si no, hay que recurrir a un programa que contiene, en entrada, la matriz de correlación y el umbral escogido (por ejemplo 0,3). He aquí el algoritmo:Para evitar las redundancias, el vínculo AB es trazado si y solamente si la correlación total r(A,B) es superior al umbral en valor absoluto, y si las correlaciones parciales r(A,B), con relación a una variable Z, son superiores al umbral, en valor absoluto, y con lo mismo signo que la correlación total, para todo Z entre las variables disponibles, incluido los «instantes».Este criterio de trazado es estricto, y garantiza la selección de los vínculos notables.
Las variables pueden ser cuantitativas y\o cualitativas (siempre y cuando estas últimas utilicen una codificación disyuntiva completa).
Posición de los puntos sobre el papel El ejemplo anterior mostró dos tipos de puntos: las variables (cuadrados), y los «instantes» (triángulos). Una vez encontrados los vínculos entre estos elementos, positivos (trazos continuos) o negativos (trazos punteados), solo queda dibujarlos sobre el papel.
Toda libertad de posicionamiento es dejada al analista, ya que la interpretación depende de vínculos y no de posiciones.
En lo posible, hay que evitar los cruces inútiles entre vínculos, molestando para la lectura. El esquema siguiente, por ejemplo, es menos legible que el precedente, aunque la interpretación sea la misma (vínculos idénticos):
Varias técnicas pueden ser utilizadas para colocar los puntos de modo automático.
Un primer enfoque consiste en proyectar la nube de puntos de las variables sobre los dos primeros ejes de un análisis de los componentes principales. Pero las proyecciones no son adaptadas siempre a una buena legibilidad cuando hay muchos componentes principales estadísticamente significativos, y particularmente en caso de mezcla de variables cualitativas y cuantitativas.
Otro enfoque consiste en sacar partido de la interpretación geométrica del coeficiente de correlación (coseno), y en dibujar el esquema a la superficie de una esfera a 3 dimensiones.
Al siendo el arco-coseno de la correlación una distancia angular, dos puntos serán tanto más próximos sobre la esfera cuanto serán correlacionados más (positivamente). A la inversa la distancia angular entre dos puntos que se correlacionan negativamente es un ángulo obtuso; si la correlación vale -1, los puntos son opuestos sobre la esfera (ángulo 180°).
Se trata, desde luego, de un mal menor, porque la esfera efectiva no está a 3 dimensiones, sino a n dimensiones. Si pues dos puntos que se correlacionan mucho forzosamente son próximos sobre el dibujo, lo inverso no está segura: dos puntos muy próximos sobre el dibujo no se correlacionan forzosamente. No obstante, la ausencia de vínculo trazado levanta la ambigüedad.
Podríamos contemplar muchos otros modos de elección de las posiciones: el más utilizado consiste en escoger como distancia angular el arco-coseno del valor absoluto de la correlación. Así, los puntos que se correlacionan negativamente no son opuestos sobre la esfera, y el vínculo punteado es más corto y atesta menos el esquema
En práctica, en un enfoque software, una primera variable A es dibujada dondequiera sobre la esfera. Luego la variable B que se correlacionan menos a esta primera es puesta sobre la esfera a la distancia arco-coseno(r(A,B)) de la primera. Colocamos entonces, por triangulación, la variable C la menos correlacionada con ambas primeras. Otros puntos son puestos poco a poco. Si la cuarta variable tiene una correlación nula con las tres primeras, no es materialmente posible asignarle una posición exacta. Las distancias son vueltas a calcular de modo proporcional a los valores efectivos. Al cabo de un cierto tiempo, la posición de los primeros puntos es vuelta a calcular según los siguientes. Etc. Así, la figura progresivamente es reajustada.
Elección del umbral El umbral puede variar entre 0 y 1. Un vínculo es trazado si, no solamente la correlación total pero además todas las correlaciones parciales correspondientes son superiores al umbral en valor absoluto y del mismo signo. Esta condición es severa, y los vínculos que subsisten son ricos, en general, en información.
Aumentar el valor del umbral disminuye el número de vínculos, y clarifica la figura, pero disminuye también la información, sobre todo cuando la variable de interés depende de varias variables independientes.
Es a menudo preferible tomar un umbral bastante bajo. Luego, si la figura completa es demasiado prolija, se puede dibujar sólo los vínculos a la variable de interés.
Por ejemplo, cuando se aborda nuevos datos, y cuando no se sabe cual umbral escoger, podremos comenzar por: un umbral = 0.3 para un análisis de datos; un umbral = 0.1 para el análisis de los resultados de un diseño de experimentos. En este caso en efecto, todos los factores son controlados, y podemos permitirnos no dibujar los "instantes" (a priori notables por construcción del plano), lo que alivia la figura; un umbral = 0.01, o menos, podrá hasta ser escogido cuando la tabla de datos comprende varias centenas de observaciones.
En nuestro ejemplo, hasta el umbral nulo, el vínculo (peso, nota) no es trazado, porque la correlación parcial con relación a la edad está con signo contrario a la correlación total. Pero el vínculo (asiduidad, nota) aparece, y hay más instantes notables.
Organización de los vínculos