thumb|La girobicúpula cuadrada elongada (J37), un sólido de Johnson. 160px|thumb|Este ejemplo de 26 vértices no es un sólido de Johnson porque no es estrictamente convexo (tiene ángulos diedros de 180°). 160px|thumb|Este ejemplo de estrella octángula no es un sólido de Johnson porque no es convexo.
En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, y cada una de sus caras es un polígono regular. Por otra parte, no es uno de los sólidos platónicos, ni uno de los sólidos arquimedianos, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros J1, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.
En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a un vértice, y el total de sus ángulos es menor a 360°. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60°, a lo sumo pueden concurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal (J2) es un ejemplo de grado 5 (máximo).
Aunque no existen restricciones respecto a que un determinado polígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonos aplicables siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados.
Historia En 1966 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó una lista de 92 sólidos, dándoles nombre y número. Aunque no probó la imposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en 1969 Victor Zalgaller demostró que la lista era completa.
Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula cuadrada elongada (J37) resulta única por tener vértices uniformes; cuatro caras concurren a cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo.
Nomenclatura Los nombres listados son más descriptivos de lo que pueda parecer a simple vista. La mayoría de los sólidos de Johnson pueden construirse añadiendo una o más pirámides, cúpulas o rotondas en una de las caras de un prisma o antiprisma.
Se denomina cúpula al poliedro que tiene dos polígonos regulares paralelos, unidos lateralmente por triángulos equiláteros y cuadrados alternándose unos y otros. La rotonda dispone también, como la cúpula, de dos polígonos regulares paralelos, pero se unen lateralmente por triángulos y pentágonos alternados.
Junto a estos tres poliedros se pueden utilizar para la construcción de los sólidos de Johnson; los sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.
El modo en que se combinan los distintos sólidos, se reflejan en su nombre mediante los siguientes términos y sufijos: Bi- significa que hay dos copias de un sólido dado unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, se pueden unir de manera que se encuentren caras similares (orto-) o disimilares (giro-). Según esta nomenclatura, un octaedro sería una bipirámide cuadrada, un cuboctaedro sería una girobicúpula triangular y un icosidodecaedro sería una girobirrotonda pentagonal. Elongado significa que se ha unido un prisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Según esta nomenclatura, un rombicuboctaedro sería una ortobicúpula cuadrada elongada. Giroelongado significa que se ha unido un antiprisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Un icosaedro sería una bipirámide pentagonal giroelongada. Aumentado significa que se ha unido una pirámide o cúpula a una de las caras del sólido dado. Disminuido significa que se ha quitado una pirámide o cúpula de un sólido dado. Giroide significa que se ha rotado una cúpula del sólido de forma que encaje de forma distinta. Un ejemplo está en la diferencia entre las orto- y las girobicúpulas.
Las tres últimas operaciones — aumento, disminución y giro — se pueden realizar más de una vez en un sólido lo suficientemente grande. Si se ha realizado una de estas operaciones dos veces, se indica con el prefijo bi- (por ejemplo, un bigiroide es un sólido que tiene dos de sus cúpulas rotadas); y si se ha realizado tres veces se indica con el prefijo tri- (por ejemplo, un sólido tridisminuido es aquel al que se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).
A veces los prefijos bi- y tri- dan lugar a ambigüedad. En el caso de que sea necesario distinguir entre un sólido al que se han alterado dos caras paralelas y uno al que se han alterado dos caras oblicuas, se indica la diferencia con los prefijos para- y meta-, respectivamente. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado es aquel al que se han aumentado dos caras paralelas, mientras que a un sólido metabiaumentado se le han aumentado dos caras oblicuas.
Enumeración º Jn Nombre Desarrollo Imagen Vértices Aristas Caras Caras según número de lados Simetría Grupo F3 F4 F5 F6 F8 F10 1 Pirámide cuadrada 80px 80px 5 8 5 4 1 C4v Prismatoides y rotondas 2 Pirámide pentagonal 80px 80px 6 10 6 5 1 C5v 3 Cúpula triangular 80px 80px 9 15 8 4 3 1 C3v 4 Cúpula cuadrada 80px 80px 12 20 10 4 5 1 C4v 5 Cúpula pentagonal 80px 80px 15 25 12 5 5 1 1 C5v 6 Rotonda pentagonal 80px 80px 20 35 17 10 6 1 C5v 7 Pirámide triangular elongada (o tetraedro elongado) 80px 80px 7 12 7 4 3 C3v Pirámides modificadas y bipirámides 8 Pirámide cuadrada elongada (o cubo aumentado) 80px 80px 9 16 9 4 5 C4v 9 Pirámide pentagonal elongada 80px 80px 11 20 11 5 5 1 C5v 10 Pirámide cuadrada giroelongada 80px 80px 9 20 13 12 1 C4v 11 Pirámide pentagonal giroelongada (o icosaedro disminuido) 80px 80px 11 25 16 15 1 C5v 12 Bipirámide triangular 80px 80px 5 9 6 6 D3h 13 Bipirámide pentagonal 80px 80px 7 15 10 10 D5h 14 Bipirámide triangular elongada 80px 80px 8 15 9 6 3 D3h 15 Bipirámide cuadrada elongada(o cubo biaumentado) 80px 80px 10 20 12 8 4 D4h 16 Bipirámide pentagonal elongada 80px 80px 12 25 15 10 5 D5h 17 Bipirámide cuadrada giroelongada 80px 80px 10 24 16 16 D4d 18 Cúpula triangular elongada 80px 80px 15 27 14 4 9 1 C3v Cúpulas y rotondas modificadas 19 Cúpula cuadrada elongada(Rombicuboctaedro disminuido) 80px 80px 20 36 18 4 13 1 C4v 20 Cúpula pentagonal elongada 80px 80px 25 45 22 5 15 1 1 C5v 21 Rotonda pentagonal elongada 80px 80px 30 55 27 10 10 6 1 C5v 22 Cúpula triangular giroelongada 80px 80px 15 33 20 16 3 1 C3v 23 Cúpula cuadrada giroelongada 80px 80px 20 44 26 20 5 1 C4v 24 Cúpula pentagonal giroelongada 80px 80px 25 55 32 25 5 1 1 C5v 25 Rotonda pentagonal giroelongada 80px 80px 30 65 37 30 6 1 C5v 26 Girobifastigium 80px 80px 8 14 8 4 4 D2d 27 Ortobicúpula triangular(Cuboctaedro girado) 80px 80px 12 24 14 8 6 D3h 28 Ortobicúpula cuadrada 80px 80px 16 32 18 8 10 D4h 29 Girobicúpula cuadrada 80px 80px 16 32 18 8 10 D4d 30 Ortobicúpula pentagonal 80px 80px 20 40 22 10 10 2 D5h 31 Girobicúpula pentagonal 80px 80px 20 40 22 10 10 2 D5d 32 Ortocupularrotonda pentagonal 80px 80px 25 50 27 15 5 7 C5v 33 Girocupularrotonda pentagonal 80px 80px 25 50 27 15 5 7 C5v 34 Ortobirrotonda pentagonal(Icosidodecaedro girado) 80px 80px 30 60 32 20 12 D5h 35 Ortobicúpula triangular elongada 80px 80px 18 36 20 8 12 D3h 36 Girobicúpula triangular elongada 80px 80px 18 36 20 8 12 D3d 37 Girobicúpula cuadrada elongada(Rombicuboctaedro girado) 80px 80px 24 48 26 8 18 D4d 38 Ortobicúpula pentagonal elongada 80px 80px 30 60 32 10 20 2 D5h 39 Girobicúpula pentagonal elongada 80px 80px 30 60 32 10 20 2 D5d 40 Ortocupularrotonda pentagonal elongada 80px 80px 35 70 37 15 15 7 C5v 41 Girocupularrotonda pentagonal elongada 80px 80px 35 70 37 15 15 7 C5v 42 Ortobirrotonda pentagonal elongada 80px 80px 40 80 42 20 10 12 D5h 43 Girobirrotonda pentagonal elongada 80px 80px 40 80 42 20 10 12 D5d 44 Bicúpula triangular giroelongada(2 formas asimétricas) 80px 80px 18 42 26 20 6 D3 45 Bicúpula cuadrada giroelongada(2 formas asimétricas) 80px 80px 24 56 34 24 10 D4 46 Bicúpula pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas) 80px 80px 30 70 42 30 10 2 D5 47 Cupularrotonda pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas) 80px 80px 35 80 47 35 5 7 C5 48 Birrotonda pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas) 80px 80px 40 90 52 40 12 D5 49 Prisma triangular aumentado 80px 80px 7 13 8 6 2 C2v Prismas aumentados 50 Prisma triangular biaumentado 80px 80px 8 17 11 10 1 C2v 51 Prisma triangular triaumentado 80px 80px 9 21 14 14 D3h 52 Prisma pentagonal aumentado 80px 80px 11 19 10 4 4 2 C2v 53 Prisma pentagonal biaumentado 80px 80px 12 23 13 8 3 2 C2v 54 Prisma hexagonal aumentado 80px 80px 13 22 11 4 5 2 C2v 55 Prisma hexagonal parabiaumentado 80px 80px 14 26 14 8 4 2 D2h 56 Prisma hexagonal metabiaumentado 80px 80px 14 26 14 8 4 2 C2v 57 Prisma hexagonal triaumentado 80px 80px 15 30 17 12 3 2 D3h 58 Dodecaedro aumentado 80px 80px 21 35 16 5 11 C5vSólidos de Platón modificados 59 Dodecaedro parabiaumentado 80px 80px 22 40 20 10 10 D5d 60 Dodecaedro metabiaumentado 80px 80px 22 40 20 10 10 C2v 61 Dodecaedro triaumentado 80px 80px 23 45 24 15 9 C3v 62 Icosaedro metabidisminuido 80px 80px 10 20 12 10 2 C2v 63 Icosaedro tridisminuido 80px 80px 9 15 8 5 3 C3v 64 Icosaedro tridisminuido aumentado 80px 80px 10 18 10 7 3 C3v 65 Tetraedro truncado aumentado 80px 80px 15 27 14 8 3 3 C3v Sólidos de Arquímedes modificados 66 Cubo truncado aumentado 80px 80px 28 48 22 12 5 5 C4v 67 Cubo truncado biaumentado 80px 80px 32 60 30 16 10 4 D4h 68 Dodecaedro truncado aumentado 80px 80px 65 105 42 25 5 1 11 C5v 69 Dodecaedro truncado parabiaumentado 80px 80px 70 120 52 30 10 2 10 D5d 70 Dodecaedro truncado metabiaumentado 80px 80px 70 120 52 30 10 2 10 C2v 71 Dodecaedro truncado triaumentado 80px 80px 75 135 62 35 15 3 9 C3v 72 Rombicosidodecaedro giroide 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C5v 73 Rombicosidodecaedro parabigiroide 80px 80px 60 120 62 20 30 12 D5d 74 Rombicosidodecaedro metabigiroide 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C2v 75 Rombicosidodecaedro trigiroide 80px 80px 60 120 62 20 30 12 C3v 76 Rombicosidodecaedro disminuido 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 C5v 77 Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 C5v 78 Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 Cs 79 Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido 80px 80px 55 105 52 15 25 11 1 Cs 80 Rombicosidodecaedro parabidisminuido 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 D5d 81 Rombicosidodecaedro metabidisminuido 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 C2v 82 Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido 80px 80px 50 90 42 10 20 10 2 Cs 83 Rombicosidodecaedro tridisminuido 80px 80px 45 75 32 5 15 9 3 C3v 84 Biesfenoide romo(Dodecaedro siamés) 80px 80px 8 18 12 12 D2d Diversos 85 Antiprisma cuadrado romo 80px 80px 16 40 26 24 2 D4d 86 Esfenocorona 80px 80px 10 22 14 12 2 C2v 87 Esfenocorona aumentada 80px 80px 11 26 17 16 1 Cs 88 Esfenomegacorona 80px 80px 12 28 18 16 2 C2v 89 Hebesfenomegacorona 80px 80px 14 33 21 18 3 C2v 90 Biesfenocíngulo 80px 80px 16 38 24 20 4 D2d 91 Bilunabirrotonda 80px 80px 14 26 13 8 2 4 D2h 92 Hebesfenorrotonda triangular 80px 80px 18 36 20 13 3 3 1 C3v
Sólido casi coincidente de Johnson Un sólido casi coincidente de Johnson es un poliedro que se encuentra cerca de tener todas sus caras regulares, teniendo algunas caras levemente irregulares o todas sus caras irregulares con algún leve grado de distorsión, fallándole por poco a la definición de sólido de Johnson. Varios de estos poliedros son también simetroedros con algunas caras perfectamente regulares.
Véase también Norman Johnson Poliedro Poliedro de caras regulares Sólido arquimediano Sólido platónico
Referencias Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros. Primera prueba de que solo hay 92 sólidos de Johnson.
Enlaces externos
Sylvain Gagnon, "", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95. Paper Models of Polyhedra Varios enlaces Johnson Solids por George W. Hart. Imágenes de los 92 sólidos categorizados
Modelos VRML Juego para construir estos y otros sólidos Bloques magnéticos Modelos VRML por Vladimir Bulatov