En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto a partir de la topología del espacio topológico .

Definición formal

Sean un espacio topológico y un subconjunto de . Entonces, la topología traza sobre es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica , es decir, la aplicación definida por .

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre son las intersecciones de con los abiertos de : .

La topología traza se denota mediante y se dice que es un subespacio topológico del espacio . Si la aplicación es abierta, se dice que es un subespacio abierto, y que es un subespacio cerrado si es cerrada.

Propiedades

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio : Un conjunto es abierto en la topología si, y sólo si, existe un abierto tal que . Un conjunto es cerrado en la topología si, y sólo si, existe un cerrado de tal que . Si , entonces . Si es un subespacio abierto de , un conjunto es abierto en si, y sólo si, es abierto en . Si es un subespacio cerrado de , un conjunto es cerrado en si, y sólo si, es cerrado en .

Propiedades hereditarias

Una propiedad topológica se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple también cumplen .

Ejemplos de propiedades que son hereditarias: Los axiomas de separación T0, T1 y T2 (Hausdorff). El primer y segundo axioma de numerabilidad. Ser metrizable.

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

Véase también Espacio topológico Topología Espacio de Hausdorff Conjunto abierto Funciones abiertas y cerradas

Bibliografía Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966) Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004)

Referencias

Enlaces externos The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. Ejemplos de subespacios en Topología inducida (subespacio)

Categoría:Topología