Una relación binaria sobre un conjunto es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de se relacionan entre sí mediante , entonces estos elementos son iguales.
Es decir,
Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.
En tal caso, se dice que cumple con la propiedad de antisimetría.
La aplicación de cualquier relación sobre un conjunto , se representa con el par ordenado .
Representación Sea una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto , entonces tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Como pares ordenados, . Como matriz de adyacencia , la matriz no tiene ningún 1 salvo, a lo sumo, en la diagonal principal. Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.
Ejemplos
Sea un conjunto cualquiera:
Sea , ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
Sea , ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.
Antisimetría asimetría 280px|derecha La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.
Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").
Véase también Propiedades de la relación binaria homogénea:
Relación reflexiva Relación irreflexiva
Relación simétrica Relación antisimétrica
Relación transitiva Relación intransitiva
Relación total
Relación bien fundada Acotado
Referencias
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