En matemática, el concepto de acotado se refiere a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto, por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.
Visión general
En análisis matemático y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto se denomina acotado si es, en cierto sentido, de medida finita. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama ilimitado. La palabra acotado no tiene sentido en un espacio topológico general sin la métrica correspondiente.
Frontera es un concepto distinto: por ejemplo, el área de un círculo aislado es un conjunto acotado pero sin frontera, mientras que un semiplano es ilimitado pero posee una frontera.
Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R2 restringido por dos curvas parabólicas x2 + 1 y x2 - 1 definidas en un sistema de coordenadas cartesianas está cerrado por las curvas, pero no es acotado (y por lo tanto, es ilimitado).
Definición en los números reales
Un conjunto S de números reales se denomina superiormente acotado si existe algún número real k (no necesariamente en S) tal que k ≥ s para todos los s en S. El número k se denomina cota superior de S. Los términos inferiormente acotado y cota inferior se definen de manera similar.
Un conjunto S está acotado si tiene cotas superior e inferior. Por lo tanto, un conjunto de números reales está acotado si está contenido en un intervalo finito.
Definición en un espacio métrico
Un subconjunto S de un espacio métrico (M, d) está acotado si existe r > 0 tal que para todos los s y t en S, se tiene que d(s, t) < r. El espacio métrico (M, d) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.
Totalmente acotado implica acotado. Para subconjuntos de Rn, los dos conceptos son equivalentes. Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y está totalmente acotado. Un subconjunto de un espacio euclídeo Rn es compacto si y solo si es cerrado y está acotado. Esta propiedad queda definida según el teorema de Heine-Borel.
Acotación en espacios vectoriales topológicos
En espacios vectoriales topológicos, existe una definición diferente para conjuntos acotados (que a veces también se denominan conjuntos acotados de von Neumann). Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una métrica que es homogénea, como en el caso de una métrica inducida por la norma de un espacio vectorial normado, entonces las dos definiciones coinciden.
La acotación en la teoría del orden Un conjunto de números reales está acotado si y solo si tiene un límite superior y otro inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado. Debe tenerse en cuenta que este concepto más general de acotación no corresponde a una noción de tamaño.
Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama superiormente acotado si existe un elemento k en P tal que k ≥ s para todos los s de S. El elemento k se denomina cota superior de S. Los conceptos de inferiormente acotado y cota inferior se definen de manera similar (véase también elemento mayorante y minorante).
Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado si tiene un límite superior y otro inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un intervalo. Téngase en cuenta que esto no es solo una propiedad del conjunto S, sino también del conjunto S como subconjunto de P.
Un conjunto parcialmente ordenado acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo. Debe tenerse en cuenta que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado acotado P cuyo orden es la restricción del orden en P no es necesariamente un conjunto parcialmente ordenado acotado.
Un subconjunto S de Rn está acotado con respecto a la distancia euclídea si y solo si está acotado como subconjunto de Rn con el orden del producto. Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de Rn con el orden lexicográfico, pero no con respecto a la distancia euclídea.
Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada, o cofinal, cuando dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Por lo tanto, en este caso ilimitado no significa ilimitado por sí mismo, sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.
Conjunto parcialmente ordenado y acotado Dado un conjunto A y una relación binaria definida entre los elementos de A, que expresaremos y la relación se representa:
que se lee: para los elementos x e y de A, x precede a y, pudiendo decirse también que y sucede a x.
La no relación se representa:
En su representación cartesiana, podemos ver los elementos del conjunto, donde los elementos del eje horizontal están relacionados con los elementos del eje vertical, si los elementos están relacionados se representa con +, si no están relacionados se representa con ., todos los casos están representados.
Si se cumple que:
el elemento x precede a y o y precede a x, se dice que x y y son elementos comparables.
Los siguientes pares de elementos no ordenados, son comparables, en el ejemplo:
Si se cumple que:
Si se cumple que existe un y de A que se cumple que para todo x de A se cumple que x precede a y. El conjunto A está acotado superiormente respecto a siendo y una cota superior de A.
Del mismo modo diremos que:
Si se cumple que existe un z de A que se cumple que para todo x de A se cumple que z precede a x. El conjunto A está acotado inferiormente respecto a siendo z una cota inferior de A.
Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.
Elemento maximal y minimal
derecha|180px Dado el conjunto A formado por los elementos:
En el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado.
Los elementos y de A que cumplen:
y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y preceda a x entonces y es igual a x. Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, d y j son maximales de A.
Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:
z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x preceda a z entonces z es igual a x. se denominan minimales y definen una cota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, b, e e i son minimales de A. Se puede ver que el elemento a es maximal y minimal en A
Elemento máximo y mínimo
derecha|180px
Dado el conjunto A formado por los elementos:
En el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado. El elemento y de A que cumple:
se denomina máximo y define la cota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo d es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es maximal en ese conjunto.
Del mismo modo el elemento z de A que cumple:
se denomina mínimo y define la cota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo a es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es minimal en ese conjunto.
Galería de ejemplos
Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, máximos y mínimos de cada caso, en caso de existir:
| 1 || 2 || 3 || 4 |- | 180px | 180px | 180px | 180px |- | maximales: d. | maximales: a, d, j. | maximales: d. | maximales: d. |- | máximo: d. | máximo: no existe | máximo: d. | máximo: d |- | minimales: a. | minimales: a, e. | minimales: a, c, h. | minimales: a, b. |- | mínimo: a. | mínimo: no existe | mínimo: no existe | mínimo: no existe
| 5 || 6 || 7 || 8 |- | 180px | 180px | 180px | 180px |- | maximales: d, g. | maximales: b, d, i. | maximales: c, d. | maximales: a, d, j. |- | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe |- | minimales: a, j. | minimales: a. | minimales: a. | minimales: a, c, e. |- | mínimo: no existe | mínimo: a. | mínimo: a. | mínimo: no existe
| 9 ||10 ||11 ||12 |- | 180px | 180px | 180px | 180px |- | maximales: a, d, j. | maximales: a, d, g, j. | maximales: a, b, d, i, j. | maximales: a, c, d, j. |- | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe |- | minimales: a, b, e, i. | minimales: a, d, e, j. | minimales: a, e. | minimales: a, e. |- | mínimo: no existe | mínimo: no existe | mínimo: no existe | mínimo: no existe
|13 ||14 ||15 ||16 |- | 180px | 180px | 180px | 180px |- | maximales: d, e, f. | maximales: d, g. | maximales: b, d, i. | maximales: c, d. |- | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe | máximo: no existe |- | minimales: a, b, c, h. | minimales: a, c, d, h, i. | minimales: a, c, h. | minimales: a, c, h. |- | mínimo: no existe | mínimo: no existe | mínimo: no existe | mínimo: no existe
Conjunto con orden total y acotado
derecha|180px Dado un conjunto A y una relación binaria definida entre los elementos de A, que expresaremos y la relación se representa:
que se lee: x precede a y, también se puede decir que y sucede a x.
Si la relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.
Se cumple que:
todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables.
Dado el conjunto A formado por los elementos:
en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto totalmente ordenado.
El elemento y de A que cumple:
se denomina máximo y define una cota superior en A, el elemento máximo es únicos, en el ejemplo g es el máximo de A.
Del mismo modo el elemento z de A que cumple:
se denomina mínimo y define una cota inferior en A, el elemento mínimo es únicos, en el ejemplo a mínimo de A.
Conjunto de los números naturales Dado el conjunto N de los números naturales y una relación binaria menor o igual: definida entre los números naturales, que expresaremos y la relación se representa:
que se lee: a es menor o igual que b.
La relación cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.
Se cumple que:
para todo: a, b número natural: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números naturales son comparables.
Dado el conjunto N formado por los elementos:
izquierda|540px
en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto totalmente ordenado.
No existe el elemento y de N que cumple:
Este elemento sería el máximo en N y definiría una cota superior en N, el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.
El elemento z de N que cumple:
se denomina mínimo y define una cota inferior en N, el elemento mínimo es único, el cero:0 es el mínimo de N.
Dado el conjunto N* formado por los elementos:
izquierda|540px
Donde el 0,(el cero) no pertenece a N*, en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto totalmente ordenado.
No existe el elemento y de N* que cumple:
Este elemento sería el máximo en N* y definiría una cota superior en N*, igual que en el caso anterior, el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.
El elemento z de N* que cumple:
se denomina mínimo y define una cota inferior en N*, el elemento mínimo es único, el cero:1 es el mínimo de N*.
Conjunto de los números enteros