thumb|276px|Monumento a Cavalieri por Giovanni Antonio Labus, Palacio de Brera, Milán, 1844
Bonaventura Cavalieri (Milán, 1598-Bolonia, 1647), matemático italiano perteneciente a la orden de los Jesuatos, considerado uno de los precursores del cálculo infinitesimal moderno.
Biografía Al nacer, Bonaventura Cavalieri recibió el nombre de Francesco. Su padre se llamaba Bonaventura Cavalieri, pero cuando Francesco ingresó en la orden religiosa de los jesuatos en Milán en 1615, adoptó el nombre de Bonaventura. Siempre se le conoce por ese nombre. La orden religiosa de los jesuatos, a la que se unió, fue fundada por Giovanni Colombini de Siena y su amigo Francesco Miani en 1660. Al principio, los jesuatos atendían a los enfermos de la peste negra, pero la orden fue reclutando a menos personas con el paso del tiempo. En 1606 se intentó animar a más jóvenes a unirse. Aunque tuvieron cierto éxito en el reclutamiento, y en particular Cavalieri se unió, sin embargo la orden finalmente fracasó y fue disuelta por el papa Clemente IX en 1668. La orden se llamaba "Jesuati" porque sus sermones siempre empezaban y terminaban con el nombre de "Jesús" gritado. Como jesuato, Cavalieri siempre llevaba sandalias y se flagelaba a diario.
Tras un año en Milán, en 1616 se trasladó al monasterio jesuato de Pisa, el monasterio de San Girolamo, donde, salvo un año que pasó en Florencia hacia 1617, permaneció hasta 1620. En Pisa, Cavalieri recibió clases de matemáticas de Benedetto Antonio Castelli, profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa. Castelli había sido nombrado en Pisa en 1611 y tenía fama de ser un buen profesor, por lo que los estudiantes venían de muchas regiones diferentes para estudiar con él. Castelli era benedictino, pero como no había ningún monasterio benedictino en Pisa, Castelli vivía en el monasterio jesuato de la ciudad. Enseñó a Cavalieri geometría y le introdujo en las ideas de Galileo. El interés de Cavalieri por las matemáticas había sido estimulado por los Elementos de Euclides y, tras conocer a Galileo, se consideró discípulo del astrónomo. El encuentro con Galileo fue organizado por el cardenal Federico Borromeo, que había mantenido correspondencia con Castelli. El propio cardenal vio claramente el genio de Cavalieri mientras estaba en el monasterio de Milán. Esto dio lugar a más de 100 cartas de Cavalieri a Galileo en el período 1619-1641. Galileo no contestó a todas ellas, sino que envió una carta ocasional a Cavalieri; de éstas, todas, excepto unas pocas, han desaparecido.
Cavalieri era tan prometedor que a veces se hacía cargo de las clases de Castelli en la universidad. Urbano Diviso, alumno de Cavalieri y primer biógrafo que escribió unos 30 años después de la muerte de Cavalieri, afirmó que Castelli le dijo a Cavalieri que estudiara matemáticas, ya que eso le curaría de la depresión. Sin embargo, no hay ninguna otra prueba de esta afirmación y, ciertamente, algunas afirmaciones comprobables en el relato de Diviso sobre la vida de Cavalieri son incorrectas.
En 1619, Cavalieri se presentó a la cátedra de matemáticas de Bolonia, que había quedado vacante tras la muerte de Giovanni Antonio Magini, pero no tuvo éxito, ya que se le consideraba demasiado joven para un puesto de esa antigüedad. Tampoco consiguió la cátedra de matemáticas en otras universidades, como Roma y Pisa, cuando Castelli se marchó a Roma en 1626. El propio Cavalieri culpó al hecho de pertenecer a la orden de los jesuitas como la razón de su falta de éxito en estas solicitudes. Consideraba que la orden no era popular en Roma, lo que sin duda era cierto, pero es imposible saber si esto explicaba el fracaso de sus solicitudes. Sin embargo, progresó en su carrera clerical. En 1621, Cavalieri se convirtió en diácono y asistente del cardenal Federico Borromeo en el monasterio de San Girolamo de Milán. Fue durante su estancia en Milán cuando comenzó a desarrollar su método de indivisibles por el que es famoso hoy en día. Enseñó teología en Milán hasta 1623, cuando fue nombrado prior de San Pedro en Lodi. Después de tres años en Lodi, se fue al monasterio de los Jesuatos en Parma, donde fue prior- En el otoño de 1626, durante un viaje de Parma a Milán, enfermó de gota, enfermedad que padecía desde la infancia y que le afectó hasta el final de su vida. Esta enfermedad le retuvo en Milán durante varios meses. Pasó los tres años 1626-1629 en Parma. El 16 de diciembre de 1627 escribió a Galileo y al cardenal Federico Borromeo diciéndoles que había terminado su libro Geometria. Éste contiene el método de los indivisibles, que se convirtió en un factor de desarrollo del cálculo integral. En 1629, Cavalieri fue nombrado catedrático de matemáticas en Bolonia. Su candidatura había sido apoyada por Galileo, que:
... en 1629, escribió a Cesare Marsili, un caballero de Bolonia y miembro de la Accademia dei Lincei, que había recibido el encargo de encontrar un nuevo profesor de matemáticas. En su carta, Galileo decía de Cavalieri que "pocos, si acaso, desde Arquímedes, han profundizado tanto y tan profundamente en la ciencia de la geometría". En apoyo de su candidatura al puesto de Bolonia, Cavalieri envió a Marsili su manuscrito de geometría y un pequeño tratado sobre las secciones cónicas y sus aplicaciones en óptica. El testimonio de Galileo, como le escribió Marsili, indujo a los "Señores del Regimiento" a confiar la primera cátedra de matemáticas a Cavalieri, que la ocupó ininterrumpidamente desde 1629 hasta su muerte. La cátedra de matemáticas de Bolonia no fue el único cargo que recibió, ya que también fue nombrado prior del convento de los jesuitas de Bolonia, adjunto a la iglesia de Santa Maria della Mascarella. Esta era una situación ideal para Cavalieri, que ahora tenía la tranquilidad de emprender investigaciones matemáticas en el convento de los jesuitas mientras enseñaba matemáticas en la universidad, donde podía tener contactos con otros matemáticos. Publicó once libros durante sus dieciocho años en Bolonia. Sin embargo, su salud se deterioró en la época de su nombramiento en Bolonia, y sufrió problemas en las piernas que persistieron durante el resto de su vida. De hecho, el nombramiento de Cavalieri en Bolonia había sido, en primera instancia, para un periodo de prueba de tres años, pero, como explicamos a continuación, fue prorrogado.
El manuscrito de geometría de Cavalieri, que había sido un factor para su nombramiento en Bolonia, aunque se terminó en diciembre de 1627, no se publicó hasta 1635. La teoría de los indivisibles, presentada en su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota de 1635, era un desarrollo del método de agotamiento de Arquímedes que incorporaba la teoría de Kepler de las cantidades geométricas infinitesimales. Esta teoría permitió a Cavalieri hallar de forma sencilla y rápida el área y el volumen de diversas figuras geométricas. Howard Eves escribe :- El tratado de Cavalieri sobre el método de los indivisibles es voluble y no está claramente escrito, y no es fácil aprender de él precisamente lo que Cavalieri quería decir con un "indivisible". Parece que un indivisible de una pieza plana dada es una cuerda de la pieza, y una pieza plana puede considerarse como formada por un conjunto paralelo infinito de tales indivisibles. Del mismo modo, parece que un indivisible de un sólido dado es una sección plana de ese sólido, y un sólido puede considerarse como formado por un conjunto paralelo infinito de este tipo de indivisibles. Ahora bien, según Cavalieri, si deslizamos cada miembro de un conjunto paralelo de indivisibles de alguna pieza plana a lo largo de su propio eje, de modo que los puntos extremos de los indivisibles sigan trazando un límite continuo, entonces el área de la nueva pieza plana así formada es la misma que la de la pieza plana original, en la medida en que las dos piezas están formadas por los mismos indivisibles. Un deslizamiento similar de los miembros de un conjunto paralelo de indivisibles de un sólido dado dará lugar a otro sólido que tendrá el mismo volumen que el original.
(Este último resultado se puede ilustrar de forma llamativa tomando una pila vertical de cartas y empujando luego los lados de la pila hacia superficies curvas; el volumen de la pila desordenada es el mismo que el de la pila original). Estos resultados dan los llamados principios de Cavalieri:
1. Si dos piezas planas están incluidas entre un par de líneas paralelas, y si las longitudes de los dos segmentos cortados por ellas en cualquier línea paralela a las líneas incluidas son siempre iguales, entonces las áreas de las dos piezas planas son también iguales.
2. Si dos sólidos están incluidos entre un par de planos paralelos, y si las áreas de las dos secciones cortadas por ellos en cualquier plano paralelo a los planos de inclusión son siempre iguales, entonces los volúmenes de los dos sólidos son también iguales.
El método de los indivisibles no se fundamentó de forma rigurosa y su libro fue ampliamente atacado. En particular, Paul Guldin atacó a Cavalieri:
El debate entre Cavalieri y Guldin suele mencionarse en relación con las objeciones formuladas por Guldin al uso que hace Cavalieri de los indivisibles. Aunque esa es probablemente la cuestión principal entre Cavalieri y Guldin, una lectura más atenta del debate nos permitirá indicar la existencia de otras cuestiones interesantes... El argumento se centra realmente en el hecho de que Guldin era un geómetra clásico que seguía los métodos de los antiguos matemáticos griegos. Sin embargo, su primer punto es acusar a Cavalieri de plagiar la Stereometria Doliorum (1615) de Kepler y la Curvi ac Recti Proportio (1630) de Sover. Hay algo en su argumento relacionado con Kepler, ya que en esa obra Kepler sí considera un círculo como un polígono infinito compuesto de infinitesimales. Sin embargo, los indivisibles de Cavalieri son diferentes de los infinitesimales de Kepler. En cuanto a la referencia a Sover, Cavalieri, en su defensa, señaló que escribió su libro antes de que se publicara el de Sover. Guldin atacó a los indivisibles de Cavalieri argumentando que cuando una superficie se genera girando una línea alrededor del eje, la superficie no es sólo un conjunto de líneas. Escribe : En mi opinión, ningún geómetra concederá a Cavalieri que la superficie es, y podría, en el lenguaje geométrico llamarse "todas las líneas de tal figura"; nunca, de hecho, pueden llamarse superficies a varias líneas, o a todas las líneas; pues, la multitud de líneas, por muy grande que sea, no puede componer ni la más pequeña superficie.
Como escribe Mancosu, Guldin era un geómetra "clasicista", impregnado de la idea de la construcción explícita, escéptico ante las consideraciones sobre el infinito en el ámbito de la geometría, y receloso ante el riesgo de acabar con una teoría atomista del continuo. Si uno se pregunta si tiene razón Guldin o Cavalieri, la respuesta debe ser Cavalieri. Sin embargo, un lado positivo del ataque de Guldin fue que Cavalieri mejoró su exposición publicando Exercitationes geometricae sex (1647), que se convirtió en la principal fuente para los matemáticos del .
Cavalieri también fue responsable en gran medida de la introducción de los logaritmos como herramienta computacional en Italia a través de su libro Directorium Generale Uranometricum. Ya hemos mencionado que su nombramiento en Bolonia fue inicialmente por un periodo de tres años. Este libro de logaritmos fue publicado por Cavalieri como parte de su exitosa solicitud de prórroga del cargo. Las tablas de logaritmos que publicó incluían logaritmos de funciones trigonométricas para uso de los astrónomos.