En álgebra conmutativa y geometría algebraica, la teoría de la eliminación es el nombre clásico para los enfoques algorítmicos destinados a eliminar ciertas variables entre polinomios de varias variables, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas.
La teoría clásica de la eliminación culminó con el trabajo de Francis Macaulay sobre resultantes, tal como se describe en el capítulo sobre «Teoría de la eliminación» en las primeras ediciones (1930) de la obra Moderne Algebra de Bartel van der Waerden. Posteriormente, la teoría de la eliminación fue ignorada por la mayoría de los geómetras algebraicos durante casi treinta años, hasta la introducción de nuevos métodos para resolver ecuaciones polinómicas —como la base de Gröbner—, los cuales eran necesarios para el cálculo simbólico.
Historia y relación con las teorías modernas El campo de la teoría de la eliminación surgió de la necesidad de contar con métodos para resolver sistema de ecuaciones polinómicas.
Uno de los primeros resultados fue el teorema de Bézout, que establece una cota para el número de soluciones.
A excepción del teorema de Bézout, el enfoque general consistía en eliminar variables para reducir el problema a una única ecuación con una sola variable.
El caso de las ecuaciones lineales fue resuelto completamente por el método de eliminación de Gauss-Jordan, que supuso una mejora respecto al método anterior de la regla de Cramer, que no procedía mediante eliminación y solo funcionaba cuando el número de ecuaciones coincidía con el número de variables. En el siglo XIX, este enfoque se extendió a las ecuaciones diofánticas lineales y a grupos abelianos mediante la forma normal de Hermite y la forma normal de Smith.
Antes del siglo XX, se introdujeron diversos tipos deeliminantes, incluidos los resultantes y varios tipos de discriminantes. Por lo general, estos eliminantes también son invariantes bajo diversos cambios de variable y resultan fundamentales en la teoría de invariantes.
Todos estos conceptos son efectivos, en el sentido de que sus definiciones incluyen un método de cálculo. Hacia 1890, David Hilbert introdujo métodos no efectivos, lo que se percibió como una revolución que llevó a la mayoría de los geómetras algebraicos de la primera mitad del siglo XX a intentar eliminar la eliminación. No obstante, el teorema de los ceros de Hilbert puede considerarse parte de la teoría de la eliminación, ya que afirma que un sistema de ecuaciones polinómicas carece de solución si y solo si es posible eliminar todas las incógnitas para obtener la ecuación constante 1 = 0.
La teoría de la eliminación culminó con el trabajo de Leopold Kronecker y, finalmente, de Macaulay, quien introdujo los resultantes y los U resultantes, proporcionando métodos completos de eliminación para sistemas de ecuaciones polinómicas; que se describen en el capítulo sobre Teoría de la eliminación en las primeras ediciones (1930) de la obra Moderne Algebra de van der Waerden.
Más tarde, la teoría de la eliminación se consideró anticuada y se eliminó de las ediciones posteriores de Moderne Algebra. Permaneció generalmente ignorada hasta la introducción de las computadoras y, más concretamente, del cálculo simbólico, lo que volvió a hacer relevante el diseño de algoritmos de eliminación eficientes, más allá de los meros resultados de existencia y estructura. Los métodos principales de esta renovación de la teoría de la eliminación son la base de Gröbner y descomposición algebraica cilíndrica, introducidos alrededor de 1970.
Relación con la lógica La teoría de la eliminación también presenta una faceta lógica, como se observa en el problema de satisfacibilidad booleana. En el peor de los casos, se presume que la eliminación computacional de variables es compleja. Eliminación de cuantificadores es un término utilizado en lógica matemática para explicar que, en algunas teorías, toda fórmula es equivalente a una fórmula sin cuantificadores. Este es el caso de la teoría de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, donde la teoría de la eliminación puede entenderse como el estudio de los métodos para hacer que la eliminación de cuantificadores sea algorítmicamente efectiva. La eliminación de cuantificadores sobre los números reales es otro ejemplo fundamental en geometría algebraica computacional.
Véase también Algoritmo de Buchberger Algoritmos F4 y F5 de Faugère (en inglés) Resultante Descomposición triangular (en inglés) Teorema principal de la teoría de la eliminación (en inglés)
Referencias Israel Guelfand, Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky, *Discriminants, resultants, and multidimensional determinants*. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x+523 págs. Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 David Cox, John Little, Donal O'Shea, *Using Algebraic Geometry*. Segunda edición revisada. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer Science+Business Media, 2005, xii + 558 págs.,
Categoría:Geometría algebraica Categoría:Álgebra computacional