En matemáticas y estadística, la media de Fréchet es una generalización del concepto de centroide a los espacios métricos, que proporciona un único punto representativo o promedio para un conjunto de puntos. Recibe su nombre en referencia a Maurice Fréchet. La media de Karcher es la denominación dada a la construcción riemanniana del centro de masas desarrollada por Karsten Grove y Hermann Karcher... En el caso de los números reales, la media aritmética, la mediana, la media geométrica y la media armónica pueden interpretarse como medias de Fréchet para diferentes funciones de distancia.
Definición
Sea (M, d) un espacio métrico completo. Sean x1, x2, …, xN puntos en M. Para cualquier punto p en M, se define la varianza de Fréchet como la suma de los cuadrados de las distancias desde p hasta los puntos xi:
Las medias de Karcher son, entonces, aquellos puntos m de M que minimiza :
Si existe un único punto m en M que minimiza estrictamente , entonces dicho punto es la media de Fréchet.
Ejemplos de medias de Fréchet
Media aritmética y mediana
Para los números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, utilizando la distancia euclídea habitual como función de distancia.
La mediana es también una media de Fréchet, si se generaliza la definición de la función Ψ a una expresión no cuadrática
donde , y la distancia euclídea es la función de distancia d., p. 136. En espacios de mayor dimensión, esto se convierte en la mediana geométrica.
Media geométrica
En los números reales positivos, se puede definir la función de distancia (hiperbólica) . La media geométrica es la media de Fréchet correspondiente. De hecho, es entonces una isometría del espacio euclídeo a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet de los es la imagen mediante de la media de Fréchet (en el sentido euclídeo) de los , es decir, debe cumplirse que:
.
Media armónica
En los números positivos, se puede definir la métrica (función de distancia):
La media armónica es la media de Fréchet correspondiente.
Medias de potencia
Dado un número real no nulo , la media generalizada puede obtenerse como una media de Fréchet introduciendo la métrica:
Media f
Dada una función continua e invertible , la media f puede definirse como la media de Fréchet obtenida utilizando la métrica:
A esto se le llama a veces media-f generalizada o media cuasiaritmética.
Medias ponderadas
La definición general de la media de Fréchet (que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones) puede utilizarse para obtener versiones ponderadas de todos los tipos de medias mencionados anteriormente.
Para la media aritmética, a los valores xi se les asignan pesos wi. Entonces, las varianzas de Fréchet y la media de Fréchet se definen como:
Véase también Media circular Distancia de Fréchet (en inglés) Estimador M (en inglés) Mediana geométrica
Referencias
Categoría:Medias