En matemáticas, la variedad de Albanese , llamada así por el matemático italiano Giacomo Albanese (1890-1947), es una generalización de la variedad jacobiana de una curva.
Enunciado preciso La variedad de Albanese de una variedad algebraica proyectiva suave es una variedad abeliana junto con un morfismo tal que cualquier morfismo desde hacia una variedad abeliana se factoriza de manera única a través de este morfismo. Para variedades complejas, definió la variedad de Albanese de manera similar, como un morfismo desde hacia un toro complejo tal que cualquier morfismo hacia un toro complejo se factoriza de manera única a través de esta aplicación (el toro complejo no necesita ser algebraico en este caso).
Propiedades Para variedades de Kähler compactas, la dimensión de la variedad de Albanese es el número de Hodge , la dimensión del espacio de diferenciales de primera especie sobre , que para superficies se denomina irregularidad de una superficie. En términos de formas diferenciales, cualquier 1-forma holomorfa sobre es un regrediente de una 1-forma invariante por traslación en la variedad de Albanese, proveniente del espacio cotangente holomorfo de en su elemento identidad. Al igual que en el caso de la curva, mediante la elección de un espacio topológico puntado en (desde el cual 'integrar'), se define un morfismo de Albanese
a lo largo del que se realiza el regrediente de las 1-formas. Este morfismo es único salvo traslación en la variedad de Albanese. Para variedades sobre cuerpos de característica positiva, la dimensión de la variedad de Albanese puede ser menor que los números de Hodge y (que no tienen por qué ser iguales). Para ver lo primero, obsérvese que la variedad de Albanese es dual al grupo de Picard, cuyo espacio tangente en la identidad viene dado por . Que es un resultado hallado por Jun-ichi Igusa.
Teorema de Roitman Si el cuerpo base k es algebraicamente cerrado, se puede demostrar que la aplicación de Albanese se factoriza a través de un homomorfismo de grupos (también llamado aplicación de Albanese)
desde el grupo de Chow de ciclos de dimensión 0 en V hasta el grupo de puntos racionales de , que es un grupo abeliano dado que es una variedad abeliana.
El teorema de Roitman, introducido por , afirma que, para un l primo respecto a char(k), la aplicación de Albanese induce un isomorfismo en los subgrupos de l-torsión. La restricción relativa a la primalidad del orden de torsión frente a la característica del cuerpo base fue eliminada poco después por Milne: el subgrupo de torsión de y el subgrupo de torsión de los puntos con valores en k de la variedad de Albanese de X coinciden.
Tras sustituir el grupo de Chow por la homología singular algebraica de Suslin-Voevodsky y tras la introducción de la cohomología motivacional, se ha obtenido y reformulado el teorema de Roitman en el marco motivacional. Por ejemplo, un resultado similar es válido para variedades cuasiproyectivas no singulares. Existen otras versiones del teorema de Roitman para esquemas normales. De hecho, las formulaciones más generales del teorema de Roitman (es decir, las homológicas, cohomológicas y de Borel-Moore) involucran el complejo de Albanese motivacional y han sido demostradas por Luca Barbieri-Viale y Bruno Kahn (véanse las referencias III.13).
Relación con la variedad de Picard La variedad de Albanese es dual respecto al grupo de Picard (la componente conexa de grado cero del grupo de Picard que clasifica haces invertibles sobre V):
Para curvas algebraicas, la aplicación de Abel-Jacobi implica que las variedades de Albanese y de Picard son isomorfas.
Véase también Jacobiano intermedio (en inglés)
Referencias
Bibliografía
Categoría:Variedades abelianas