En matemáticas, un haz de líneas, haz de rectas o también fibrado de rectas expresa el concepto de una recta que varía de un punto a otro de un espacio. Por ejemplo, una curva en el plano que tiene una recta tangente en cada punto determina una recta variable: el fibrado tangente es una forma de organizarlas. Más formalmente, en topología algebraica y topología diferencial, un haz de rectas se define como un fibrado vectorial de rango 1.

Los haces de rectas se especifican eligiendo un espacio vectorial unidimensional para cada punto del espacio de manera continua. En aplicaciones topológicas, este espacio vectorial suele ser real o complejo. Los dos casos presentan un comportamiento fundamentalmente diferente debido a las distintas propiedades topológicas de los espacios vectoriales reales y complejos: si se elimina el origen de la recta real, el resultado es el conjunto de matrices reales invertibles de 1×1, que es homotópicamente equivalente a un espacio discreto de dos puntos al contraer los números reales positivos y negativos, cada uno, a un punto, mientras que eliminar el origen del plano complejo da lugar a las matrices complejas invertibles de 1×1, que tienen el tipo de homotopía de un círculo.

Desde la perspectiva de la teoría de la homotopía, un haz de rectas real se comporta, por tanto, de manera muy similar a un fibrado con una fibra de dos puntos, es decir, como un doble recubrimiento. Un caso especial es una variedad diferenciable orientada, donde el haz de rectas correspondiente es el haz determinante del haz tangente (véase más abajo). La banda de Möbius corresponde a un recubrimiento doble del círculo (la aplicación θ → 2θ) y, al cambiar la fibra, también puede verse como un objeto con una fibra de dos puntos, con el intervalo unidad como fibra o con la recta real.

Los haces de rectas complejos están estrechamente relacionados con los haces de circunferencias. Existen algunos ejemplos célebres, como la fibración de Hopf de esferas a esferas.

En geometría algebraica, un haz invertible (es decir, un haz localmente libre de rango uno) suele denominarse fibrado de rectas.

Todo fibrado de rectas proviene de un divisor bajo las siguientes condiciones:

(I) Si es un esquema reducido e irreducible, entonces todo fibrado de rectas proviene de un divisor. (II) Si es una variedad proyectiva, entonces se cumple la misma afirmación.

Fibrado tautológico sobre el espacio proyectivo

Uno de los fibrados de rectas más importantes en geometría algebraica es el fibrado de rectas tautológico sobre el espacio proyectivo. La proyectivización de un espacio vectorial sobre un cuerpo se define como el cociente de por la acción del grupo multiplicativo . Por tanto, cada punto de corresponde a una copia de , y estas copias de pueden ensamblarse para formar un fibrado sobre . Sin embargo, difiere de únicamente en un punto; y al añadir dicho punto a cada fibra, se obtiene un fibrado de rectas sobre . Este fibrado de rectas recibe el nombre de fibrado de rectas tautológico. A veces se denota como , ya que corresponde al dual de la construcción Proy .

Aplicaciones al espacio proyectivo Supóngase que es un espacio y que es un fibrado de rectas sobre . Una sección global de es una función tal que, si es la proyección natural, entonces . En un entorno pequeño de donde es trivial, el espacio total del fibrado de rectas es el producto de y el cuerpo base , y la sección se restringe a una función . Sin embargo, los valores de dependen de la elección de la trivialización y, por tanto, quedan determinados salvo multiplicación por una función que no se anula en ningún punto.

Las secciones globales determinan aplicaciones a espacios proyectivos de la siguiente manera: elegir puntos no todos nulos en una fibra de equivale a elegir una fibra del fibrado de rectas tautológico sobre ; así, elegir secciones globales de que no se anulen simultáneamente determina una aplicación de al espacio proyectivo . Esta aplicación envía las fibras de a las fibras del dual del fibrado tautológico. Más concretamente, supóngase que son secciones globales de . En un entorno pequeño de , estas secciones determinan funciones con valores en sobre , cuyos valores dependen de la elección de la trivialización. No obstante, quedan determinadas salvo multiplicación simultánea por una función no nula, por lo que sus cocientes están bien definidos. Es decir, en un punto , los valores no están bien definidos porque un cambio de trivialización los multiplica a cada uno por una constante λ no nula. Sin embargo, los multiplica por la misma constante λ, de modo que las coordenadas homogéneas quedan bien definidas siempre que las secciones no se anulen simultáneamente en . Por tanto, si las secciones nunca se anulan simultáneamente, determinan una forma que define una aplicación de a , y el retroceso del dual del fibrado tautológico mediante esta aplicación es . De este modo, el espacio proyectivo adquiere una propiedad universal.

La forma universal de determinar una aplicación a un espacio proyectivo consiste en aplicar al espacio proyectivizado del espacio vectorial de todas las secciones de . En el caso topológico, existe una sección que no se anula en ningún punto, que puede construirse utilizando una función de corte que se anula fuera de un pequeño entorno del punto. Debido a ello, la aplicación resultante está definida en todas partes. No obstante, el codominio suele ser excesivamente grande para resultar útil. Ocurre lo contrario en los contextos algebraico y holomorfo. Aquí, el espacio de secciones globales suele ser de dimensión finita, pero es posible que no existan secciones globales que no se anulen en un punto dado (como sucede cuando este procedimiento construye un lápiz de Lefschetz). De hecho, cabe la posibilidad de que un fibrado no tenga ninguna sección global no nula, como en el caso del fibrado de rectas tautológico. Cuando el fibrado de rectas es suficientemente amplio, esta construcción verifica el teorema de embebido de Kodaira.

Fibrados determinantes

En general, si es un fibrado vectorial sobre un espacio , con dimensión de fibra constante , el -ésimo producto exterior de , tomado fibra a fibra, es un fibrado de rectas, llamado fibrado determinante de . Esta construcción se aplica en particular al fibrado cotangente de un variedad diferenciable. El fibrado determinante resultante (más precisamente, el fibrado de una potencia no negativa fija de los valores absolutos de sus secciones) es responsable del fenómeno de las densidades tensoriales, en el sentido de que, para una variedad orientable, posee una sección global que no se anula, y sus potencias tensoriales con cualquier exponente real pueden definirse y utilizarse para "retorcer" cualquier fibrado vectorial mediante un producto tensorial.

La misma construcción (tomando la potencia exterior máxima) se aplica a un módulo proyectivo finitamente generado sobre un dominio noetheriano, y el módulo invertible resultante se denomina módulo determinante de .

Clases características, fibrados universales y espacios clasificantes La primera clase de Stiefel-Whitney clasifica fibrados de rectas reales diferenciables. En particular, la colección de (clases de equivalencia de) fibrados de rectas reales está en correspondencia con los elementos del primer grupo de cohomología con coeficientes en . Esta correspondencia es, de hecho, un isomorfismo de grupos abelianos (siendo las operaciones de grupo el producto tensorial de fibrados de rectas y la suma usual en cohomología). Análogamente, la primera clase de Chern clasifica fibrados de rectas complejos diferenciables sobre un espacio, y el grupo de fibrados de rectas es isomorfo a la segunda clase de cohomología con coeficientes enteros. Sin embargo, los fibrados pueden tener estructuras suaves equivalentes (y, por tanto, la misma primera clase de Chern) pero estructuras holomorfas diferentes. Las afirmaciones relativas a las clases de Chern se demuestran fácilmente utilizando la sucesión exponencial de haces en la variedad.

En términos más generales, el problema de clasificación puede abordarse desde la perspectiva de la teoría de la homotopía. Existe un fibrado universal para los fibrados de rectas reales y otro para los fibrados de rectas complejas. Según la teoría general sobre espacios clasificantes, la estrategia heurística consiste en buscar espacios contraíbles sobre los cuales existan acciones de grupo de los respectivos grupos y . Dichos espacios pueden servir como los fibrados principales universales, y los cocientes de estas acciones, como los espacios clasificantes . En estos casos, es posible determinarlos explícitamente mediante los análogos de dimensión infinita de los espacios proyectivos real y complejo.

Por tanto, el espacio clasificante tiene el tipo de homotopía de , el espacio proyectivo real definido por una sucesión infinita de coordenadas homogéneas. Este espacio porta el fibrado de rectas real universal, y en términos de la teoría de homotopía, esto significa que cualquier fibrado de rectas real sobre un CW-complejo determina una aplicación clasificante de a , haciendo que sea un fibrado isomorfo al retroceso del fibrado universal. Esta aplicación clasificante puede utilizarse para definir la clase de Stiefel-Whitney de —en el primer grupo de cohomología de con coeficientes en — a partir de una clase estándar en .

De manera análoga, el espacio proyectivo complejo porta un fibrado de rectas complejo universal. En este caso, las aplicaciones clasificantes dan lugar a la primera clase de Chern de , en (cohomología entera).

Existe también una teoría análoga para los fibrados de rectas cuaterniónicos (de dimensión real cuatro). Esto da lugar a una de las clases de Pontryagin en la cohomología real de dimensión cuatro. De este modo, los casos fundamentales para la teoría de clases características dependen únicamente de los fibrados de rectas. Según un principio de escisión general, esto puede determinar el resto de la teoría (aunque no sea de forma explícita).

Existen teorías de haces de vectores holomorfos sobre variedades complejas, y haces invertibles en geometría algebraica, que desarrollan una teoría de fibrados de rectas en dichos ámbitos.

Véase también Fibrado I (en inglés) Haz de rectas amplio (en inglés) Cuerpo de rectas (en inglés)

Referencias

Bibliografía Michael Murray, Line Bundles , 2002 (enlace web a PDF) Robin Hartshorne. Algebraic geometry. AMS Bookstore, 1975.

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