En matemáticas, el lema de Kronecker (véase, por ejemplo, ) es un resultado sobre la relación entre la convergencia de sumas infinitas y la convergencia de sucesiones. El lema se utiliza a menudo en las demostraciones de teoremas relativos a sumas de variables aleatorias independientes, como la ley fuerte de los grandes números. Recibe su nombre del matemático alemán Leopold Kronecker.
Enunciado
Si es una sucesión de números reales (o complejos) tal que
existe y es finita, y es una sucesión de números reales positivos que crece hacia infinito, entonces
Demostración
Sea la suma parcial -ésima. Entonces . Dado , elíjase tal que para todo . Mediante sumación por partes se obtiene
Escribiendo en el último término, se tiene
Haciendo tender , el primer término tiende a , que se cancela con el tercer término; el segundo término tiende a cero (pues la suma es un valor fijo); el último término está acotado en valor absoluto por
Por tanto, el límite es cero.
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
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